Утверждение. В треугольнике $ABC$ медианы пересекаются в одной точке (центроид $G$), и каждая медиана делится точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины: $AG:GM=2:1$.
Доказательство (двухступенчатое, кратко).
1) Конкуренция медиан (теорема Чева). Пусть медианы пересекают стороны в серединах: $M\in BC$, $N\in AC$, $P\in AB$. Тогда
$$\frac{BM}{MC}=\frac{CN}{NA}=\frac{AP}{PB}=1,$$ и по теореме Чева
$$\frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}\cdot \frac{AP}{PB}=1,$$ отсюда медианы concurent, т.е. имеют общую точку $G$.
(Использовано: теорема Чева, факт о серединах сторон.)
2) Соотношение отрезков $2:1$. Представим вершины как векторные координаты $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$. Тогда середина $M$ стороны $BC$ имеет координату $\mathbf{m}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$. Рассмотрим точку
$$\mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}.$$ Покажем, что $\mathbf{g}$ лежит на медиане $AM$ и что $AG:GM=2:1$. Действительно,
$$\mathbf{g}-\mathbf{a}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}-2\mathbf{a}}{3}=\frac{2}{3}(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}-\mathbf{a})=\frac{2}{3}(\mathbf{m}-\mathbf{a}),$$ то есть $\mathbf{g}=\mathbf{a}+\frac{2}{3}(\mathbf{m}-\mathbf{a})$ — точка на отрезке $AM$ при параметре $t=\frac{2}{3}$. Это эквивалентно отношению длин $AG:GM=2:1$. Аналогично $\mathbf{g}$ лежит на других медианах, значит это та самая общая точка $G$.
(Использовано: аналитическая/векторная модель Евклидовой плоскости, определение середины отрезка, простые алгебраические тождества.)
Итог: медианы пересекаются в одной точке $G$ (центроид), и для каждой медианы $AG:GM=2:1$.
Краткий список используемых аксиом/теорем:
- аксиомы Евклидовой геометрии (плоскость, понятия отрезка, середины);
- теорема Чева (для доказательства конкуренции);
- свойства средних/медиан и элементарная векторно-координатная алгебра (для вывода отношения $2:1$).