Решение. Уравнение
$\sin x=\frac{x}{2}$ не решается элементарно (трансцендентно). Рассмотрим функцию
$f(x)=\sin x-\frac{x}{2}.$
1) Ограничение по модулю: $\sin x\in [-1,1]$ => из уравнения следует $\frac{x}{2}\in [-1,1]$, т.е. все корни лежат в интервале $[-2,2]$.
2) Симметрия: и $\sin x$, и $\frac{x}{2}$ — нечетные, значит $f$ — нечетная, поэтому корни симметричны относительно нуля. Если есть положительный корень $a$, то $-a$ тоже корень; ноль тоже проверяется: $f(0)=0$.
3) Число и расположение корней на $[0,2]$. Производная
$f^{\prime }(x)=\cos x-\frac{1}{2}$ обнуляется при $\cos x=\frac{1}{2}$, т.е. при $x=\frac{\pi }{3}$ (в указанном отрезке единственная критическая точка). На $(0,\frac{\pi }{3})$ $f^{\prime }>0$, на $(\frac{\pi }{3},2]$ $f^{\prime }<0$. Значения:
$$f(0)=0,f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}>0,f(2)=\sin 2-1\approx -0.0907<0.$$ По непрерывности и виду производной на $[0,2]$ следует: кроме корня $x=0$ существует ровно один положительный корень в интервале $(\frac{\pi }{3},2)$; симметрично — ровно один отрицательный в $(-2,-\frac{\pi }{3})$. Итого ровно три действительных корня.
4) Численные приближения (например, методом Ньютона или бисекции) дают
$$x=0,x\approx \pm 1.895494221(\text{около}1.89549).$$
Методы и замечания:
- Графический метод: наглядно показывает пересечения $y=\sin x$ и $y=x/2$ и даёт оценку числа корней, но может пропустить корень при низком разрешении.
- Аналитические рассуждения (ограничение по модулю, нечётность, анализ производной) позволяют строго вывести количество корней и их локализацию, но не дают явной формулы для корней.
- Численные методы (бисекция, секущая, Ньютон) дают высокоточную аппроксимацию корней; требуется выбор начальных приближений/интервалов — от этого зависит, какие корни будут найдены (Ньютон может не схватить нужный корень при неудачном старте или замедляться, если $f^{\prime }$ близко к нулю).
Вывод: на действительной оси уравнение имеет ровно три решения $x=0,x\approx \pm 1.895494221$.