Ответ: предел равен 1, то есть $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$.
Геометрическое доказательство (кратко). Рассмотрим единичную окружность и угол в первом квадранте $0<x<\frac{\pi }{2}$. Сравнивая площади вписанного треугольника, сектора и описанного треугольника получаем
$$\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x,$$ откуда
$$\sin x<x<\tan x.$$ Домножив на $1/x>0$ и выразив через отношение, получаем
$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$ При $x\to 0^{+}$ правая и левая части сходятся к $1$ (так как $\cos x\to 1$), значит по лемме о сжатой последовательности $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. По нечётности синуса тот же предел слева, значит двухсторонний предел равен $1$.
Почему геометрический подход корректен (ключевые предпосылки):
- Формулы площадей сектора ($A=\frac{1}{2}{r}^2\theta$) и треугольников используются при $r=1$; важно, что угол $\theta$ измерен в радианах — иначе формула сектора некорректна.
- Определение $\sin ,\cos ,\tan$ здесь через единичную окружность и длины/высоты треугольников. С этими определениями не возникает круговой логики.
Альтернативные способы и их предпосылки:
- Метод неравенств/сжатия (описанный выше) — минимальные предпосылки: геометрические формулы площадей и измерение в радианах.
- Правило Лопиталя: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$. Предпосылка: функции дифференцируемы в окрестности нуля и применимы условия Лопиталя (форма $0/0$).
- Разложение в ряд Тейлора: $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\Rightarrow \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\to 1$. Предпосылка: существование и знание ряда Тейлора для $\sin x$.
- Через производную: если заранее известно, что $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, то ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=$ $(\sin x{)}^{\prime }{|}_0=\cos 0=1$. Однако это решение кругово зависит от того, как была установлена производная $\sin$ (обычно её вычисляют через тот же предел или через ряды), поэтому нужно следить за непротиворечивостью построения.
Вывод: все корректные доказательства требуют, прямо или косвенно, введения радианной меры угла и одних и тех же базовых фактов о синусе/площадях или дифференцируемости/рядах; результат $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$.