Пример функции:
$f(x,y)=x^{2}y+e^{xy}$.
Частные производные:
$$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y{e}^{xy},f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+x{e}^{xy}.$$
Случай 1 — $y$ независима от $x$ (меняем только $x$, $y$ фиксировано):
темп изменения по $x$ при фиксированном $y$ равен частной производной
$${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y=f_x=2xy+y{e}^{xy}.$$
Случай 2 — $y=y(x)$ зависит от $x$ (нужен полный (тотальный) производный):
по правилу цепочки
$$\frac{df}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx}.$$ Если по ошибке заменить полный производный на частный, это эквивалентно предположению $\frac{dy}{dx}=0$, что обычно неверно.
Конкретный числовой пример: пусть $y(x)=x^2$. Тогда $\frac{dy}{dx}=2x$. Подставим:
$$\frac{df}{dx}=(2xy+y{e}^{xy})+(x^2+x{e}^{xy})\cdot 2x.$$ Для $x=1$ (тогда $y=1$) получаем
dfdx∣x=1=(2+e)+(1+e)⋅2=4+3e. \frac{df}{dx}\Big|_{x=1}= (2+e)+(1+e)\cdot 2 =4+3e.
dxdf x=1 =(2+e)+(1+e)⋅2=4+3e. Если бы ошибочно взяли только частную $\frac{\partial f}{\partial x}$, получили бы $2+e$, что отличается от правильного $4+3e$.
Итого: используйте частные производные, когда изучаете изменение по одной переменной при фиксировании остальных; используйте полный производный (цепное правило) когда переменные взаимозависимы, причем
$$df=f_{x}dx+f_{y}dy,\frac{df}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx}.$$