Рассмотрим ряд ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$.
Лучшие критерии: интегральный тест и признак Коши (Cauchy condensation).
1) Интегральный тест. Функция $f(x)=\frac{1}{x(\ln x{)}^p}$ положительна и убывает при $x>e$. По замене $t=\ln x$, $dt=dx/x$,
$${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^p}={\int }_{\ln 2}^{\infty }{t}^{-p}dt.$$ Это собственный несобственный интеграл, который сходится тогда и только тогда, когда $p>1$ (для $p=1$ интеграл ${\int }_{\ln 2}^{\infty }{t}^{-1}dt$ расходится, для $p<1$ интеграл расходится как степенной с показателем $\le 1$). По интегральному тесту ряд сходится ⇔ $p>1$.
2) Признак Коши (альтернативное краткое обоснование). Для убывающей $a_n\ge 0$ ряд $\sum a_n$ и ряд $\sum 2^k{a}_{2^k}$ равносходимы. Здесь
$$2^k{a}_{2^k}=2^k\frac{1}{2^k(\ln 2^k{)}^p}=\frac{1}{(\ln 2{)}^p}\cdot \frac{1}{k^p},$$ т.е. получается $const\cdot \sum \frac{1}{k^p}$, который сходится только при $p>1$. Следовательно исходный ряд сходится ⇔ $p>1$.
Вывод: ряд ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$. (Для $p=1$ частичные суммы растут медленно: $S_N\sim \ln \ln N$.)