Короткий ответ (рекомендуемый — полный комбинаторный подсчёт):
- Точная вероятность (без возвращения) по гипергеометрическому закону:
$$P(X=2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)}=\frac{100}{210}=\frac{10}{21}\approx \mathrm{0.47619.}$$
Различия методов и влияние допущений:
- Полный комбинаторный (гипергеометрический) — точен при выборке без возвращения из конечной популяции. Формула:
$$P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}.$$ Для наших данных $N=10$, $K=5$, $n=4$.
- Биномиальная аппроксимация — предполагает независимые испытания с вероятностью успеха $p$ (т.е. с возвращением или при очень большой популяции). Здесь $p=0.5$, поэтому
$$P(X=2)\approx \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)p^2(1-p{)}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})(0.5{)}^4=\frac{3}{8}=\mathrm{0.375.}$$ Разница от точного значения объясняется нарушением независимости при выборке без возвращения.
- Почему значения отличаются: матожидание совпадает ($E[X]=4\cdot 0.5=2$), но дисперсия гипергеометрического распределения меньше биномиальной из‑за фактора конечной популяции:
$${\mathrm{Var}}_{HG}=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}=1\cdot \frac{6}{9}=\frac{2}{3}\approx 0.6667,$$ тогда как биномиальная дисперсия $=1$. Меньшая дисперсия концентрирует массу ближе к среднему, поэтому $P(X=2)$ выше в гипергеометрическом случае.
- Симуляция (Монте‑Карло) — практический способ проверить/оценить вероятность: с большим числом прогонов оценка сходится к $0.47619$. Погрешность оценки примерно
$$SE\approx \sqrt{\frac{p(1-p)}{N}},$$ например при $N=10000$ получится $SE\approx 0.005$.
Резюме: используйте полный комбинаторный (гипергеометрический) метод — он точен; биномиальная модель годится как приближение при возвращении или большой популяции; симуляция полезна для проверки и оценки погрешности.