Коротко — собственные значения и собственные векторы задают все инвариантные направления и коэффициенты сжатия/растяжения; комплексные значения дают вращение+масштаб в двумерной инвариантной плоскости. Конкретнее:
- Направления сжатия/растяжения: если $Av=\lambda v$ и $v\in {\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$, то направление $\mathrm{span}\{v\}$ инвариантно, а вектор масштабируется на множитель $\lambda$. При $|\lambda |>1$ — растяжение, при $|\lambda |<1$ — сжатие, при $\lambda <0$ — дополнительно поворот на $180^{\circ }$ (смена ориентации на линии).
- Фиксированные подпространства: пространство собственных векторов (эigenspace) для данного $\lambda$ — инвариантное подпространство (линия, плоскость или тривиальное). Корень $\lambda =0$ означает, что соответствующее подпространство отображается в $0$ (свертывание измерений).
- Вращения и комплексные собственные значения: комплексные собственные значения появляются попарно $\lambda =a\pm bi$ и не имеют вещественных собственных векторов. Они соответствуют действию в некоторой инвариантной вещественной плоскости в виде композиции вращения и масштабирования; в подходящем базисе этот блок задаётся матрицей
$$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right),$$ у которой масштабирование по модулю равно $|\lambda |=\sqrt{a^2+b^2}$, а поворот на угол $\arg \lambda =\arctan \frac{b}{a}$.
- Объём и ориентация: $\det A$ равен произведению собственных значений (масштаб объёма; знак даёт сохранение/смену ориентации), $\mathrm{tr}A$ равен их сумме.
- Диагонализуемость / жордановы блоки: если собственные векторы дают базис — действие сводится к независимым растяжениям вдоль этих направлений; при недостатке независимых собственных векторов появляются сдвиги/сдвиговые (shear) компоненты (жордановы блоки).
Пример с комплексными собственными значениями и его геометрическая интерпретация:
Возьмём
A=(0−10100002). A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.
A= 010 −100 002 . Её собственные значения: $i,-i,2$. На вещественном ${\mathbb{R}}^3$ это означает: плоскость $xy$ инвариантна и на ней действует вращение на $90^{\circ }$ (нет вещественных собственных векторов в этой плоскости), а ось $z$ инвариантна и растягивается вдвое ($z\mapsto 2z$). Комплексные собственные векторы для $i$ и $-i$ существуют в ${\mathbb{C}}^3$; их вещественные и мнимые части порождают ту самую инвариантную вращательную плоскость в ${\mathbb{R}}^3$.