Покажите, что функция f(x) = |x| не обладает производной в точке x = 0; предложите расширение задачи (например, изучение субградиента или производной по направлению) и объясните, какие новые результаты можно получить
Покажите, что функция f(x) = |x| не обладает производной в точке x = 0; предложите расширение задачи (например, изучение субградиента или производной по направлению) и объясните, какие новые результаты можно получить
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
- Правый производный:
limh→0+∣h∣−∣0∣h=limh→0+hh=1. \lim_{h\to0^+}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1.
h→0+lim h∣h∣−∣0∣ =h→0+lim hh =1. - Левый производный:
limh→0−∣h∣−∣0∣h=limh→0−−hh=−1. \lim_{h\to0^-}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1.
h→0−lim h∣h∣−∣0∣ =h→0−lim h−h =−1. Поскольку правый и левый пределы разные (1≠−11\neq-11=−1), обычная производная в 000 не существует. Геометрически это — «излом» (угол) в графике f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣.
Возможные расширения и что они дают (кратко):
1) Субградиент (в смысле выпуклого анализа).
- Определение: ∂f(x)={v∈R: f(y)≥f(x)+v(y−x) ∀y∈R}.\partial f(x)=\{v\in\mathbb R:\ f(y)\ge f(x)+v(y-x)\ \forall y\in\mathbb R\}.∂f(x)={v∈R: f(y)≥f(x)+v(y−x) ∀y∈R}. - Для f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣:
∂f(x)={{1},x>0,[−1,1],x=0,{−1},x<0. \partial f(x)=\begin{cases}
\{1\}, & x>0,\\
[-1,1], & x=0,\\
\{-1\}, & x<0.
\end{cases}
∂f(x)=⎩⎨⎧ {1},[−1,1],{−1}, x>0,x=0,x<0. - Что даёт: вместо единственной производной в точке 000 получаем множество возможных «склонов» — удобно в оптимизации и теории выпуклых функций (условие оптимума: 0∈∂f(x)0\in\partial f(x)0∈∂f(x)).
2) Направленная производная.
- Определение: f′(x;v)=limt↓0f(x+tv)−f(x)t.f'(x;v)=\lim_{t\downarrow0}\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}.f′(x;v)=limt↓0 tf(x+tv)−f(x) . - Для x=0x=0x=0 и v∈Rv\in\mathbb Rv∈R:
f′(0;v)=∣v∣. f'(0;v)=|v|.
f′(0;v)=∣v∣. - Что даёт: даёт односторонние изменения вдоль заданного направления; показывает, что при «движении» вправо и влево при t>0t>0t>0 скорость изменения одинаково равна 111 по модулю.
3) Обобщённая (Кларкова) градиент.
- Для локально липшицевой fff Кларковская градиент ∂Cf(0)\partial_C f(0)∂C f(0) совпадает с выпуклой оболочкой предельных градиентов; для ∣x∣|x|∣x∣ получается
∂Cf(0)=[−1,1]. \partial_C f(0)=[-1,1].
∂C f(0)=[−1,1]. - Что даёт: обобщённый дифференциал для негладких функций, применим в теории управления и оптимизации.
4) Слабая (в распределениях / Соболевских пространствах) производная.
- В почти всюду смысле функция имеет производную
f′(x)=sgn(x)для x≠0, f'(x)=\operatorname{sgn}(x)\quad\text{для }x\neq0,
f′(x)=sgn(x)для x=0, и f∈Wloc1,pf\in W^{1,p}_{\mathrm{loc}}f∈Wloc1,p для любых 1≤p<∞1\le p<\infty1≤p<∞ с слабой производной sgn(x)\operatorname{sgn}(x)sgn(x).
- В смысле распределений вторая производная дает дельта‑функцию:
ddxsgn(x)=2δ0. \frac{d}{dx}\operatorname{sgn}(x)=2\delta_0.
dxd sgn(x)=2δ0 . - Что даёт: позволяет работать с ∣x∣|x|∣x∣ в вариационных задачах и при решении уравнений в слабом смысле.
Короткое заключение: хотя классической производной в 000 нет (излом), разные расширения — субдифференциал, направленные и обобщённые производные, слабые и распределительные производные — дают согласованные и полезные инструменты для анализа и оптимизации, причём для f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣ все эти объекты вычисляются явно (например, ∂f(0)=[−1,1]\partial f(0)=[-1,1]∂f(0)=[−1,1], f′(0;v)=∣v∣f'(0;v)=|v|f′(0;v)=∣v∣, слабая производная sgn(x)\operatorname{sgn}(x)sgn(x)).