Рассмотрим симметричный прямоугольник с основанием на оси $Ox$ и верхней стороной на кривой $y=4-x^2$. Пусть правая верхняя вершина имеет абсциссу $x\ge 0$. Тогда
- ширина прямоугольника $=2x$,
- высота $=4-x^2$,
- функция площади $A(x)=2x(4-x^2)=8x-2x^3,x\in [0,2]$ (границы от пересечений параболы с осью $Ox$ при $x=\pm 2$).
Найдём экстремум методом дифференцирования:
$$A^{\prime }(x)=8-6x^2.$$ Решая $A^{\prime }(x)=0$ получаем $x^2=\frac{4}{3}$, т.е. $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ (берём положительное значение). Вторая производная
$$A^{\prime \prime }(x)=-12x,$$ при $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ равна $A^{\prime \prime }=-\frac{24}{\sqrt{3}}<0$, значит это локальный максимум.
Проверка на глобальность: $A(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[0,2]$, поэтому достигает максимума. На концах $A(0)=A(2)=0$, а в критической точке
$$A_{\max }=A\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=2\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}(4-\frac{4}{3})=\frac{32}{3\sqrt{3}}=\frac{32\sqrt{3}}{9},$$ следовательно это и есть глобальный максимум.
Итог: максимальная площадь $\frac{32}{3\sqrt{3}}=\frac{32\sqrt{3}}{9}$. Соответствующий прямоугольник имеет абсциссы вершин $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ и $\frac{2}{\sqrt{3}}$ и высоту $4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$.