1) Для $5$: по малой теореме Ферма для любого целого $n$ имеем $n^5\equiv n(\mathrm{mod}5)$, значит $n^5-n\equiv 0(\mathrm{mod}5)$. Итак, $5$ делит $n^5-n$ при любом $n$.
2) Какие простые числа делят $n^5-n$ при любом $n$? Пусть $p$ — простое такое, что $p\mid n^5-n$ для всех целых $n$. Тогда для всех классов $a\in {\mathbb{F}}_p$ выполняется $a^5=a$. Для $a\ne 0$ получается $a^4=1$, т.е. все элементы мультипликативной группы ${\mathbb{F}}_p^{\times }$ имеют порядок, делящий $4$. Поскольку ${\mathbb{F}}_p^{\times }$ цикличесна порядка $p-1$, следует $p-1\mid 4$. Отсюда $p-1\in \{1,2,4\}$, значит $p\in \{2,3,5\}$.
Проверка: для $p=2,3,5$ действительно для любого $n$ выполняется $n^5\equiv n(\mathrm{mod}p)$ (для $p=2$ тривиально, для $p=3$ у ненулевых элементов $a^2=1\Rightarrow a^4=1\Rightarrow a^5=a$, для $p=5$ это малая теорема Ферма).
3) Следствие: ровно простые $2,3,5$ делят $n^5-n$ при всех $n$, поэтому их НОК $2\cdot 3\cdot 5=30$ делит $n^5-n$ для любого $n$. Никакое другое простое число этого свойства не имеет.