Сколькими способами можно расположить буквы слова МАТЕМАТИКА на прямой? Опишите метод учета повторяющихся букв и объясните различие между перестановками, размещениями и комбинациями в этом примере
Сколькими способами можно расположить буквы слова МАТЕМАТИКА на прямой? Опишите метод учета повторяющихся букв и объясните различие между перестановками, размещениями и комбинациями в этом примере
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
10!3!2!2!=151200. \frac{10!}{3!2!2!}=151200.
3!2!2!10! =151200.
Краткое объяснение метода: поместим буквы в 10 позиций (это даёт 10!10!10! перестановок, если все буквы различны), но делим на факториалы для одинаковых букв, поскольку перестановки внутри одинаковых букв не дают новых слов. То же можно выразить через выбор позиций: выбрать 3 места для А ((103)\binom{10}{3}(310 )), затем 2 места для М из оставшихся ((72)\binom{7}{2}(27 )), затем 2 места для Т ((52)\binom{5}{2}(25 )) и расположить оставшиеся 3 разных буквы (3!3!3!); это даёт тот же результат:
(103)(72)(52)3!=10!3!2!2!. \binom{10}{3}\binom{7}{2}\binom{5}{2}3!=\frac{10!}{3!2!2!}.
(310 )(27 )(25 )3!=3!2!2!10! .
Различие между понятиями:
- Перестановки: все упорядочения всех элементов. Для различных элементов — n!n!n!; для мультисета — n!∏mi!\dfrac{n!}{\prod m_i!}∏mi !n! .
- Размещения (A(n,k)): упорядоченные выборки длины kkk из nnn различимых элементов без повторений: A(n,k)=n!(n−k)!A(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}A(n,k)=(n−k)!n! .
- Комбинации (C(n,k)): неупорядоченные выборки длины kkk из nnn различимых элементов: C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}C(n,k)=k!(n−k)!n! .
В контексте слова «МАТЕМАТИКА» формулы размещений и комбинаций применимы только при явном указании, считаются ли одинаковые буквы неразличимыми и допускается ли использование каждого экземпляра не более одного раза — в противном случае счёт усложняется из‑за ограниченных повторяющихся копий букв.