Кратко опишу три доказательства, их ключевые шаги, требования по предпосылкам, строгость и обучающую ценность.
1) Доказательство через окружность (геометрическое)
- Идея: в треугольнике $ABC$ с прямым углом при $A$ отрезок $BC$ — диаметр окружности, поскольку угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }$. Точка $M$ — середина $BC$ — центр этой окружности, поэтому
$$MA=MB=MC.$$ - Предпосылки: теорема о вписанном угле / теорема Фалеса (или факт: угол, опирающийся на диаметр, прямой).
- Строгость: высока при условии доказанной теоремы о вписанном угле; аргумент короче и органично вписывается в планиметрическую теорию.
- Обучающая ценность: сильная интуитивная визуализация (центр окружности, диаметр, вписанный угол). Хорош для формирования геометрической интуиции и понимания связи между окружностью и прямым углом.
- Минус: опирается на неочевидную для новичка теорему (надо либо принять, либо доказать отдельно).
2) Координатное доказательство (аналитическое)
- Разместим $A(0,0)$, $B(b,0)$, $C(0,c)$ (прямой угол при $A$). Тогда середина гипотенузы $BC$ имеет координаты $M(\frac{b}{2},\frac{c}{2})$. Длины:
$$MA=\sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2+(\frac{c}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2},$$ $$MB=\sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2+(\frac{c}{2}{)}^2},MC=\sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2+(\frac{c}{2}{)}^2},$$ откуда $MA=MB=MC$.
- Предпосылки: формула расстояния в координатах, базовая алгебра; также можно ссылаться на теорему Пифагора.
- Строгость: полностью строг в рамках аналитической геометрии; вычисления прямы и необратимы.
- Обучающая ценность: хорош для тренировки вычислений, перехода от геометрии к алгебре; менее нагляден — геометрический смысл может быть «приглушён» числами.
- Минус: теряется чистая геометрическая интуиция; зависимость от правильной постановки системы координат.
3) Векторное доказательство (линейно-алгебраическое)
- Положим $A$ в начало координат, $u=AB$, $v=AC$. Так как угол при $A$ прямой, $u\cdot v=0$. Середина $M$ гипотенузы имеет вектор $AM=\frac{u+v}{2}$. Тогда
∣AM→∣2=∣u⃗+v⃗2∣2=14(∣u⃗∣2+2u⃗⋅v⃗+∣v⃗∣2)=∣u⃗∣2+∣v⃗∣24. |\overrightarrow{AM}|^2=\Big|\tfrac{\vec{u}+\vec{v}}{2}\Big|^2=\frac{1}{4}\big(|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2\big)=\frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2}{4}.
∣AM∣2= 2u+v 2=41 (∣u∣2+2u⋅v+∣v∣2)=4∣u∣2+∣v∣2 . Аналогично
$$BM=\frac{-u+v}{2},|BM{|}^2=\frac{|u{|}^2-2u\cdot v+|v{|}^2}{4}=\frac{|u{|}^2+|v{|}^2}{4},$$ и то же для $MC$. Следовательно все три расстояния равны.
- Предпосылки: операции с векторами и скалярное произведение; свойства норм и скалярного произведения.
- Строгость: очень строгое и компактное доказательство в рамках евклидовой векторной алгебры.
- Обучающая ценность: показывает роль ортогональности и скалярного произведения, легко обобщается на более высокие размерности; хорош для студентов, знакомых с линейной алгеброй.
- Минус: менее «плоско-интуитивно» для тех, кто не привык к векторному аппарату.
Сравнение и рекомендации
- Строгость: все три доказательства строгие при принятых аксиомах; различие — в выборe базовой теоремы: окружностное — базируется на теории вписанных углов, координатное — на аналитической геометрии, векторное — на свой­ствах скалярного произведения.
- Обучающая ценность:
- для чистой геометрической интуиции и краткости — окружностное доказательство;
- для закрепления перехода геометрия↔алгебра и практики вычислений — координатное;
- для абстрактного мышления, обобщений и связи с линейной алгеброй — векторное.
- Обобщаемость: векторное (и координатное) легко обобщается на пространства большей размерности; окружностное специфично для плоскости.
Краткий вывод: начинающим лучше показывать окружностное доказательство как концептуально ясное; затем полезно привести координатное для вычислительной уверенности; векторное — для подведения итогов, обобщений и демонстрации структурного подхода.