Пример функции и её симметрия.
Возьмём несложную 2π‑периодическую функцию на $[-\pi ,\pi ]$ $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<\pi ,\\ -1,& -\pi <x<0,\end{array}f(0)=0,f(\pm \pi )=0.$$ Это нечётная функция $f(-x)=-f(x)$ и имеет полу-волновую антисимметрию $f(x+\pi )=-f(x)$. Для неё в ряде Фурье остаются только нечётные синусные гармоники:
$$f(x)=\frac{4}{\pi }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{\sin ((2k+1)x)}{2k+1}.$$
Почему исчезают остальные коэффициенты.
1) Нечётность даёт нулевые косинусные коэффициенты:
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx=0$$ (интеграл нечётной функции на симметричном отрезке).
2) Полу‑волновая антисимметрия уничтожает чётные синусы: для чётного $n=2m$ $$b_{2m}=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (2mx)dx.$$ Подставив $x\mapsto x+\pi$ и используя $f(x+\pi )=-f(x)$, $\sin (2m(x+\pi ))=\sin (2mx)$, получаем $b_{2m}=-b_{2m}\Rightarrow b_{2m}=0$. Остаются только $b_{2k+1}$.
Поведение ряда в точках разрыва и сходимость.
- Точка непрерывности: если $f$ непрерывна в $x_0$, ряд Фурье сходится к $f(x_0)$.
- Точка разрыва: при выполнении условий Дирихле (функция кусочно‑непрерывна и имеет конечное число экстремумов на интервале) ряд сходится в точке $x_0$ к среднему значению правого и левого пределов:
$$\sum _n(\dots )\to \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$ Для приведённой квадратной волны при разрыве (например в $x=0$) предел ряда равен $(1+(-1))/2=0$. В окрестности разрыва наблюдается феномен Гиббса (постоянное превышение амплитуды около разрыва ≈ $9\%$ от величины скачка).
Критерии сходимости (кратко).
- Дирихле: если $f$ кусочно‑непрерывна и имеет конечное число экстремумов на $[-\pi ,\pi ]$, то ряд сходится в каждой точке к $(f(x+0)+f(x-0))/2$.
- Джордан: если $f$ имеет на интервале ограниченную вариацию, то ряд сходится к средней величине пределов в каждой точке.
- Среднеквадратичная сходимость: для $f\in L^2([-\pi ,\pi ])$ ряд Фурье сходится к $f$ в среднем (по норме $L^2$); коэффициенты $a_n,b_n\to 0$ и выполняется формула Парсеваля.
- Укреплённые условия на скорость убывания коэффициентов: если $f$ достаточно гладкая (например $C^1$ и периодична), то коэффициенты убывают быстрее и ряд может сходиться равномерно и даже абсолютно при большей гладкости.
Таким образом, достаточно требовать нечётности $f(-x)=-f(x)$ (чтобы исчезли косинусы) и полу‑волновой антисимметрии $f(x+\pi )=-f(x)$ (чтобы исчезли чётные синусы) — тогда в ряде остаются только нечётные синусные гармоники.