Ученик сократил выражение (x^2 - 1)/(x - 1) и получил x + 1 для всех x. Проанализируйте это упрощение, укажите для каких значений x оно корректно, как правильно записывать область определения при упрощении и как избежать подобных ошибок в экзаменационной практике
Ученик сократил выражение (x^2 - 1)/(x - 1) и получил x + 1 для всех x. Проанализируйте это упрощение, укажите для каких значений x оно корректно, как правильно записывать область определения при упрощении и как избежать подобных ошибок в экзаменационной практике
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Почему: x2−1=(x−1)(x+1), x^2-1=(x-1)(x+1),
x2−1=(x−1)(x+1), значит x2−1x−1=(x−1)(x+1)x−1=x+1 \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1
x−1x2−1 =x−1(x−1)(x+1) =x+1 только если x−1≠0x-1\neq0x−1=0.
Для каких xxx корректно: выражение равно x+1x+1x+1 для всех xxx таких, что x≠1x\ne1x=1. При x=1x=1x=1 исходная дробь x2−1x−1\frac{x^2-1}{x-1}x−1x2−1 не определена (деление на ноль), тогда как x+1x+1x+1 определено и равно 222. Т.е. функции отличаются в точке x=1x=1x=1 (съёмный разрыв).
Как правильно записывать область определения при упрощении: сначала указывают ОДЗ исходного выражения, затем упрощают с пометкой об исключённых значениях. Например,
ОДЗ: x≠1,x2−1x−1=x+1 при x≠1. \text{ОДЗ: }x\ne1,\quad\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\ \text{при }x\ne1.
ОДЗ: x=1,x−1x2−1 =x+1 при x=1.
Как избежать ошибок на экзамене (короткий чек-лист):
- Перед сокращением выпишите условия (запреты) из знаменателя: не делить на ноль.
- После сокращения запишите равенство с явной оговоркой об исключённых точках.
- При решении уравнений подставляйте найденные корни в исходное выражение/уравнение — отсекайте недопустимые.
- Если нужно указывать поведение в исключённой точке, найдите предел: limx→1x2−1x−1=2\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2limx→1 x−1x2−1 =2 (удобно отмечать съёмный разрыв).