Найду ответ, считая известными две стороны $b,c$ и угол между ними $A$ (т. е. известен набор SAS). Методы и формулы:
Аналитические (быстро и прямо)
- Площадь по синусу: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$.
- Третий бок (по косинусам): $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$.
- Высота, опущенная на сторону $a$ (соответствующая стороне напротив вершины с углом $A$):
$$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{bc\sin A}{a}.$$ - Высоты на стороны $b$ и $c$ (если база — $b$ или $c$):
$$h_b=c\sin A,h_c=b\sin A.$$ - Альтернативно через площади и полупериметр: вычислить $a$, затем по Герону $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ и $h_a=\frac{2S}{a}$ — полезно, если удобнее работать с длинами сторон.
Аналитические (альтернативы для вычислений/программ)
- Координатный способ: положить $A=(0,0)$, $C=(b,0)$, $B=(c\cos A,c\sin A)$. Тогда площадь = $\frac{1}{2}|x_B{y}_C-x_C{y}_B|$ (в простом виде даёт $\frac{1}{2}bc\sin A$), координаты основания высоты и её длину можно получить прямым вычислением.
- Векторное/матричное: $S=\frac{1}{2}|u\times v|$ для векторов сторон; удобно в коде.
Конструктивные (геометрические)
- Построение треугольника по SAS (отрезки $b,c$ с углом $A$ между ними), затем провести перпендикуляр из вершины на выбранную сторону — получаете высоту и её основание. Выполняется обычным циркулем и линейкой.
- Построение через описанную/описанную окружности: для получения точных точек пересечения при построении треугольника и дальнейших перпендикуляров.
Когда что предпочтительнее
- Для прямого вычисления площади: однозначно $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ — самый короткий, точный и устойчивый способ.
- Для высоты на сторону, соседнюю с углом $A$ (т. е. высота на $b$ или $c$): используйте $h_b=c\sin A$ или $h_c=b\sin A$ — не требует вычисления третьей стороны.
- Для высоты на сторону $a$: сначала удобнее найти $a$ по закону косинусов, затем $h_a=\frac{bc\sin A}{a}$ или $h_a=\frac{2S}{a}$.
- Координатный/векторный метод полезен, если нужны координаты основания высоты или вы решаете в программной среде.
- Герон и вычисление через полупериметр полезны, если нужно работать только с длинами сторон (например, когда угол ненадёжно измерен) или для перепроверки.
- Конструктивный (циркуль + линейка) — при черчении и геометрических построениях, в задачах на построение.
Особые замечания
- При очень малых/близких к $0$ или $\pi$ значениях $A$ численно осторожно с вычислением $\sin A$ и $\cos A$ (возможна потеря точности); в некоторых задачах предпочтительна координатная формулировка или методы с меньшим вычитанием (избежать потерь в законе косинусов).
- Если известны другие комбинации данных (не SAS), выбирают соответствующие формулы (например, если известны две стороны и угол не между ними — возможна неоднозначность).
Если нужно, могу привести короткую схему построения высоты по шагам или пример вычислений для конкретных чисел.