Кратко и формально.
Пусть параметры $p=(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$ и $f(x;p)=a{x}^2+bx+c$. Ключевой инвариант — дискриминант
$$D(p)=b^2-4ac.$$
1) Классы поведения по $D$ (разделение параметрического пространства):
- $D>0$: две различных вещественных корня
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.$$ - $D=0$: кратный (двойной) корень
$$x_0=-\frac{b}{2a},$$ парабола касается оси абсцисс.
- $D<0$: вещественных корней нет (есть сопряжённая пара комплексных корней).
Гиперповерхность $\{D=0\}\subset {\mathbb{R}}^3$ — граница (бифуркационная поверхность), пересечение которой меняет число вещественных корней.
2) Непрерывность и гладкость зависимости корней от параметров:
- Как множество (в комплексной плоскости) корни зависят непрерывно от $p$. Это следует из теории многочленов и из явной формулы.
- Если корень простой (то есть $D\ne 0$), то по неявной теореме о функции корень зависит гладко (реально-аналитически) от параметров.
- При приближении к $D=0$ поведение имеет квадрат-корневую (негладкую по знаку) особенность: при одном параметрическом размахе двухкоренной корень распадается как
$$x=x_0\pm C\sqrt{\mu }+o(\sqrt{\mu }),$$ где $\mu$ — локальный координатный параметр нормали к поверхности $\{D=0\}$. Это типичная «сценарий» saddle‑node (fold) бифуркации.
3) Поведение графика (ветвлений параболы):
- Открытие вверх/вниз определяется знаком $a$: $a>0$ — ветви вверх, $a<0$ — вниз. При непрерывном изменении $a$ ориентация меняется через вырождение $a=0$ (снижение степени многочлена до линейного).
- Вертекс имеет координаты
$$x_v=-\frac{b}{2a},f(x_v)=-\frac{D}{4a}.$$ Они зависят гладко от $(a,b,c)$ при $a\ne 0$. При $a\to 0$ парабола «распрямляется» в прямую, и формула перестаёт работать (степень падает).
4) Формализация в терминах бифуркаций:
- Параметрическое пространство разбивается на открытые области (стабильные): $D>0$ (тип — два простых реальных корня), $D<0$ (тип — два комплексных невидимых корня), и особые точки/поверхности $\{D=0\}$ и $\{a=0\}$ (неустойчивые/дегенератные параметры).
- Локально у поверхности $\{D=0\}$ после координатных преобразований семейство приводится к нормальной форме
$$x^2-\mu =0$$ (где $\mu$ — локальный параметр), что явно показывает появление/исчезновение двух вещественных корней при пересечении $\mu =0$.
Итого: при плавном изменении $(a,b,c)$ корни и ветви параболы движутся непрерывно; изменение числа вещественных корней может произойти только на множестве $\{D=0\}$ (коллизия/рождение двух корней), а выравнивание/смена ориентации связаны с вырождением $a=0$.