Дан ряд 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... . Какие методы сходимости можно применить для его анализа, возможны ли разные суммы при перестановке членов, и какие условия перестановки допустимы
Дан ряд 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... . Какие методы сходимости можно применить для его анализа, возможны ли разные суммы при перестановке членов, и какие условия перестановки допустимы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
1) Вид ряда и его сумма
- Ряд: ∑n=1∞(−1) n−11n=1−12+13−14+…\sum_{n=1}^\infty (-1)^{\,n-1}\frac{1}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\dots∑n=1∞ (−1)n−1n1 =1−21 +31 −41 +….
- Его сумма равна ln2\ln 2ln2, т.к. разложение ln(1+x)=x−x22+x33−…\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}-\dotsln(1+x)=x−2x2 +3x3 −… при x=1x=1x=1 даёт ln2\ln2ln2.
2) Методы исследования сходимости
- Признак Лейбница (альтернирующий ряд): если an≥0a_n\ge0an ≥0, an↘0a_n\searrow0an ↘0, то ∑(−1)n−1an\sum (-1)^{n-1}a_n∑(−1)n−1an сходится. Здесь an=1/na_n=1/nan =1/n — услов выполнено → ряд сходится.
- Оценка остатка Лейбница: для частичной суммы SNS_NSN остаток RN=S−SNR_N=S-S_NRN =S−SN удовлетворяет ∣RN∣≤aN+1=1N+1|R_N|\le a_{N+1}=\tfrac{1}{N+1}∣RN ∣≤aN+1 =N+11 .
- Абс. сходимость: проверить ∑∣an∣=∑1/n=∞\sum |a_n|=\sum 1/n=\infty∑∣an ∣=∑1/n=∞ — расходится, значит сходимость условная.
- Дополнительно: можно применять тесты Абеля и Дирихле для более общих чередующихся рядов; интегральный тест и преобразования степенных рядов тоже используются (как при получении ln2\ln2ln2).
3) Перестановки членов и возможные суммы
- Так как ряд условно сходящийся (не абсолютно), справедлив Римановский теорема о перестановках: существует перестановка членов, дающая любую заданную сумму S∈RS\in\mathbb{R}S∈R, и существуют перестановки, делающие ряд расходящимся.
- Противоположно: если бы ряд был абсолютно сходящимся, любая перестановка сохраняла бы сумму.
4) Какие перестановки сохраняют сумму (достаточные и простые случаи)
- Любая конечная перестановка (перемещены лишь конечное число членов) не меняет сумму.
- Общая точная характеристика бесконечных перестановок, сохраняющих сумму для условно сходящихся рядов, сложна; но единное простое необходимое и достаточное условие — абсолютная сходимость (тогда все перестановки допустимы).
- Часто приводят конструкцию: перестановкой можно менять соотношение сумм положительных и отрицательных членов (поочерёдно брать много положительных, потом несколько отрицательных и т.д.), что и позволяет получить любую сумму — поэтому любые «неограниченные» перестановки в общем случае могут изменить сумму.
5) Практическая рекомендация
- При работе с условно сходящимися рядами — не применять произвольные бесконечные перестановки и группировки без анализа; допускаются только конечные перестановки и те, которые обеспечивают абсолютную сходимость или явно контролируют баланс положительных/отрицательных членов.
Если нужно, могу показать конструкцию перестановки, дающей заданное SSS, или привести строгую формулировку и доказательство Лейбница и теоремы Римана.