Небольшое замечание для начала: условное число в обычном смысле невозможно быть «близким к нулю» — по определению для невырожденной матрицы $\kappa (A)=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert \ge 1$. Чаще имеют в виду «плохо обусловленную» систему, т.е. малая наименьшая сингулярная величина и, соответственно, большое $\kappa (A)$. Ниже предполагаю именно этот случай (near‑singular / ill‑conditioned).
Краткие критерии выбора метода
- Требуется диагностика сингулярности / стабильность, возможно шум в правой части b → SVD / псевдообратная.
- Нужна быстрая практичная поправка при малой размерности и без сильного шума → прямой метод с перестановками (Gauss / LU с частичным pivoting).
- Система большая и разреженная → итерационные методы (CG, GMRES) с предобуславливанием; для 3×3 это неприменимо по эффективности.
- Наличие шума в b или необходимость регуляризации → Tikhonov / усечённый SVD.
Основные формулы и пояснения
- Условное число: $\kappa (A)=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert =\frac{{\sigma }_{\max }}{{\sigma }_{\min }}$.
- Усиление относительной погрешности: $\frac{\Vert \delta x\Vert }{\Vert x\Vert }\lesssim \kappa (A)\frac{\Vert \delta b\Vert }{\Vert b\Vert }$. При большом $\kappa (A)$ малый шум в $b$ даёт большую ошибку в $x$.
- SVD‑решение (минимальное по норме при вырождении): если $A=U\Sigma V^T$, то псевдообратная и решение: $x=A^{†}b=V{\Sigma }^{+}{U}^{T}b$. Это даёт ясную диагностику: малые сингулярные числа можно отбросить (truncated SVD).
- Тихоновская регуляризация: минимум ${\min }_x\Vert Ax-b{\Vert }^2+\lambda \Vert x{\Vert }^2$ даёт $(A^{T}A+\lambda I)x=A^{T}b$ — выбор $\lambda$ стабилизирует решение.
Рекомендация для 3×3 плохо обусловленной системы
1. Сначала вычислите оценку $\kappa (A)$ (например по SVD или по LU с оценкой нормы и оценке обратной).
2. Если $\kappa (A)$ умеренно велика, данных без шума и нужна быстрое решение — используйте LU с частичным pivoting (Gauss с partial pivoting). LU без pivoting — рискован. Полное pivoting редко нужно на 3×3.
3. Если $\kappa (A)$ очень большое или есть шум/неопределённость → используйте SVD и либо:
- взять псевдообратную $A^{†}$ для минимальной нормы решения;
- применить усечённый SVD (отбросить сингулярные числа ${\sigma }_i$ ниже порога) или Тихонову регуляризацию с подбором $\lambda$.
4. Итерационные методы для 3×3 нецелесообразны: они не дадут преимуществ в точности и будут подвержены тем же проблемам обусловленности, если нет специальных предобуславливателей.
Итог (коротко)
- Для практической и быстрой работы: Gauss / LU с частичным pivoting; проверять $\kappa (A)$.
- Для надёжной диагностики и корректной работы при сильной вырожденности или шуме: SVD (псевдообратная или регуляризация).
- Итерационные методы — неэффективны для 3×3, использовать только при больших/разреженных задачах с подходящим предобуславливанием.