Кратко о сути обоих подходов и о том, где каждый удобен.
1) Алгебраическое доказательство через квадрат разности.
- Для двух положительных чисел $x,y$ базовый ход:
$$(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2\ge 0⟹x+y\ge 2\sqrt{xy}⟹\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}.$$ - Для общего числа переменных обычно делают индукцию или используют операцию «усреднения» (smoothing): заменить пару $x,y$ на $\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2}$ не уменьшает произведение при фиксированной сумме, и повторять до выравнивания всех переменных.
- Достоинства: простой, полностью элементарный, даёт явные представления разности AM–GM в виде суммы квадратов при малом числе переменных; удобен в задачах, где требуется построить равенство или показать неотрицательность явно (например, преобразования, приведение к sum of squares).
- Ограничения: для многих переменных или для взвешенных версий может стать громоздким; метод ручного «выравнивания» иногда неудобен.
2) Доказательство через логарифмическую выпуклость / выпуклость $\ln$ (Jensen).
- Так как функция $f(t)=\ln t$ выпукла вниз (concave), по неравенству Йенсена для положительных $x_i$:
$$\ln \left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\ge \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\ln x_i.$$ Экспоненцируя, получаем общую AM–GM:
$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\ge {\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n}.$$ - Преимущества: коротко и сразу для произвольного $n$; легко обобщается на весовые случаи:
$$\sum _i{\alpha }_i{x}_i\ge \prod _i{x}_i^{{\alpha }_i}({\alpha }_i\ge 0,\sum {\alpha }_i=1),$$ и на интегральные/стохастические версии (ожидание vs. произведение); удобен в анализе, оптимизации, при работе с логарифмами и показательной структурой.
- Ограничения: требует знания свойств $\ln$, работает только при положительных $x_i$ (хотя нуль можно обрабатывать предельным переходом); менее «конструктивен» для получения разложения разности в виде квадратов.
3) В каких задачах какой метод удобнее.
- Алгебраический (квадрат разности): когда мало переменных (2–3), когда нужно явно разложить разность AM–GM в сумму квадратов, при задачах олимпиадного типа с ручными преобразованиями, при наличии нулей, при желании показать пошаговое выравнивание переменных.
- Логарифмическая/Jensen: когда много переменных или требуются весовые версии, интегральные/статистические обобщения, короткие доказательства в анализе или оптимизации, или когда природно работать с логарифмами/произведениями (например, в задачах про произведения, вероятности, энтропию).
Итог: для «локальных» элементарных задач и явных алгебраических преобразований удобнее квадрат разности; для общих, весовых и аналитических обобщений — доказательство через выпуклость $\ln$.