Коротко: такие многочлены задаются однозначно как
$$P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+x+1,$$ где $Q(x)\in \mathbb{Z}[x]$ — произвольный многочлен степени $\le 3$ (для степени $5$ ровно $\mathrm{deg}Q=3$). Это эквивалентно двум линейным ограничениям на коэффициенты $a_0,\dots ,a_5$:
$$\sum _{k=0}^5{a}_k=2,\sum _{k=0}^5{a}_k{2}^k=3.$$
Явная параметризация: положим $Q(x)=b_3{x}^3+b_2{x}^2+b_{1}x+b_0$ с целыми $b_i$. Тогда
$$P(x)=(x^2-3x+2)Q(x)+x+1,$$ и коэффициенты $a_5,\dots ,a_0$ выражаются через $b_i$ как
$$\begin{array}{rl}{a}_5& =b_3,\\ a_4& =b_2-3b_3,\\ a_3& =b_1-3b_2+2b_3,\\ a_2& =b_0-3b_1+2b_2,\\ a_1& =-3b_0+2b_1+1,\\ a_0& =2b_0+1.\end{array}$$
Итого: семейство всех таких многочленов имеет 4 целых параметра $b_0,b_1,b_2,b_3$; равенства $P(1)=2,P(2)=3$ эквивалентны указанным двум линейным условиям и делимости $P(x)-(x+1)$ на $(x-1)(x-2)$.