Ответ: предел равен 1.
Приведу несколько разных методов и укажу необходимые предпосылки.
1) Геометрическое (не требует дифференцирования).
Для $0<x<\frac{\pi }{2}$ на единичной окружности выполняется неравенство (сравнение площадей треугольника, сектора и другого треугольника)
$$\sin x<x<\tan x.$$ Разделив на $\sin x$ и домножив на $\cos x$, получаем
$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$ При $x\to 0$ правая и левая границы стремятся к $1$, отсюда по теореме о двух полицейских
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$ Предпосылки: углы измеряются в радианах (формула площади сектора $\frac{1}{2}{r}^2\theta$); базовые геометрические факты об окружности и монотонности площадей. Метод не использует производных.
2) Теорема о среднем значении (MVT).
Для функции $f(t)=\sin t$ на $[0,x]$ существует $c\in (0,x)$ с
$$\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\cos c\Rightarrow \frac{\sin x}{x}=\cos c.$$ При $x\to 0$ имеем $c\to 0$ и $\cos c\to 1$, значит предел равен 1.
Предпосылки: $f$ дифференцируема на интервалах (нужна производная $\cos$ и её непрерывность). Если дифференцируемость $\sin$ доказывается независимым способом, метод корректен; иначе может быть круговая зависимость с определением производной.
3) Правило Лопиталя.
Так как $\sin 0=0$ и $x\to 0$ даёт неопределённость $0/0$, применяем Лопиталя:
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sin x{)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=1.$$ Предпосылки: применимы только если $\sin$ дифференцируема в окрестности 0 и известно значение её производной $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$. Поэтому этот метод требует предварительного доказательства дифференцируемости синуса.
4) Ряд Тейлора / степенной ряд.
Если известно разложение
$$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{6}+\cdots ,$$ то
$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\cdots \to 1(x\to 0).$$ Предпосылки: знание корректного разложения синуса в степенной ряд (сходимость в окрестности 0).
5) Через экспоненту (Эйлерова формула).
$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\Rightarrow \frac{\sin x}{x}=\frac{e^{ix}-1}{2ix}-\frac{e^{-ix}-1}{2ix}.$$ Используя ${\lim }_{z\to 0}\frac{e^z-1}{z}=1$ даём тот же результат $1$.
Предпосылки: свойства экспоненты (её предел/производная в 0).
Замечание о единицах: все приведённые утверждения корректны при измерении угла в радианах. Если аргумент дан в градусах, предел будет отличаться (в частности, если $x$ — угол в градусах, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x^{\circ }}{x}=\pi /180$).
Итого: наиболее элементарный (наименьшие аналитические предпосылки) — геометрический squeeze-аргумент; остальные методы требуют знаний о дифференцировании, рядах или свойствах экспоненты.