Утверждение (неколлинеарные точки). Пусть даны три точки $A,B,C$ не на одной прямой. Любой центр окружности, проходящей через эти три точки, удовлетворяет
$$OA=OB\text{и}OA=OC,$$ где $O$ — центр. Следовательно $O$ лежит на перпендикулярных биссектрисах отрезков $AB$ и $AC$. Поскольку прямые $AB$ и $AC$ не коллинеарны, соответствующие перпендикулярные биссектрисы не параллельны и пересекаются в единственной точке. Значит существует ровно одна окружность, проходящая через $A,B,C$, и множество её центров — одна точка (единственный центр).
Вырожденные конфигурации:
- Три различных коллинеарных точки. Обычная евклидова окружность пересекает прямую не более чем в двух точках, значит нет конечной окружности, проходящей через три различные коллинеарные точки; множество центров пусто. (Если допускать «обобщённые окружности» как прямые, то трём коллинеарным точкам соответствует прямая, но центр для прямой не определён в обычном смысле.)
- Две совпадающие и третья отличная точка (например $A=B\ne C$). Тогда требование $OA=OC$ означает, что центры — все точки перпендикулярной биссектрисы отрезка $AC$. Множество центров — прямая (перпендикулярная биссектриса).
- Три совпадающие точки $A=B=C$. Любая окружность, центрированная в любой точке плоскости, может проходить через эту точку (выбрав радиус равным расстоянию до центра), поэтому множество центров — вся плоскость.