Уравнение: $f(x+y)=f(x)f(y)$.
Классификация.
1) Тривиальный случай. Если существует $a$ с $f(a)=0$, то для любого $x$ $$f(x)=f(x-a+a)=f(x-a)f(a)=0,$$ т.е. $f\equiv 0$.
2) Нетривиальные решения. Если $f\not\equiv 0$, то подставив $y=0$ получаем $f(x)=f(x)f(0)$, следовательно $f(0)=1$. Далее
$$f(x)=f(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=f(\frac{x}{2}{)}^2\ge 0,$$ и так как функция не тождественно нулевая, то на всей $\mathbb{R}$ выполняется $f(x)>0$. Можно ввести $a(x)=\ln f(x)$; тогда
$$a(x+y)=\ln f(x+y)=\ln (f(x)f(y))=a(x)+a(y),$$ т.е. $a$ удовлетворяет уравнению Коши $a(x+y)=a(x)+a(y)$. Обратно, для любой аддитивной функции $a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функция
$$f(x)=e^{a(x)}$$ даёт решение исходного уравнения.
3) Роль непрерывности. Если требовать непрерывность (всюду или в точке), то аддитивная функция $a$ обязана быть линейной: $a(x)=cx$ для некоторого $c\in \mathbb{R}$. Следовательно непрерывные решения имеют вид
$$f\equiv 0\text{или}f(x)=e^{cx}(c\in \mathbb{R}).$$
Примечание: без дополнительных условий (непрерывности, измеримости, монотонности или ограниченности на отрезке) существуют «дикие» аддитивные функции (зависящие от хама́левой базы), порождающие соответствующие патологические решения $f(x)=e^{a(x)}$.