Кратко — выбор зависит от структуры последовательности и от того, какие свойства легко проверить:
Критерии выбора
- Метод монотонности + ограниченности: подходит, если легко показать, что $a_{n+1}\ge a_n$ (или $\le$) и существует конечная граница (нижняя/верхняя). Быстро даёт существование предела, но не всегда даёт его значение.
- Метод мажорирования (сравнения, squeeze): удобен, когда можно оценить $a_n$ сверху/снизу известной сходящейся последовательностью или показать $|a_n-b_n|\to 0$. Часто прост для ослабленных/осциллирующих членов (используется неравенство $|a_n|\le c_n$).
- Критерий Коши: предпочтителен, когда трудно найти предел явно, но можно показать, что хвосты сходятся к нулю: для любого $\epsilon >0$ найдётся $N$ такое, что для всех $m,n\ge N$ выполнено $|a_{n+m}-a_n|<\epsilon$. Особенно полезен для последовательностей, заданных суммами (частичные суммы рядов) или рекуррентно (контракции). Единственный метод, необходимый в абстрактных полных пространствах.
Примеры, где один метод проще другого
1) Монотонность проще:
- $a_n=\frac{1}{n}$. Здесь $a_{n+1}<a_n$ и $a_n>0$ ⇒ по теореме о монотонной ограниченной последовательности $a_n\to 0$.
- $b_n=\frac{n}{n+1}$. $b_n$ возрастает и ограничена сверху 1 ⇒ $b_n\to 1$.
2) Мажорирование (сжатие) проще:
- $a_n=\frac{\sin n}{n}$. Так как $|\sin n|\le 1$, имеем $|a_n|\le \frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n}\to 0$ ⇒ $a_n\to 0$ по критерию сжатия.
- Частичные суммы $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$. Сравнение с $p$-рядом ($p=2$) сразу даёт сходимость.
3) Критерий Коши удобнее:
- Для рекуррентной последовательности при сжимающем отображении, например $x_{n+1}=f(x_n)$ с $|f^{\prime }(x)|\le L<1$ на интервале: доказать, что $|x_{n+m}-x_n|\le L^{n}C$ и потому последовательность Коши ⇒ сходится (обычно монотонность не выполняется).
- Частичные суммы ряда: часто доказывают, что хвост ряда ${\sum }_{k=n+1}^{n+m}{a}_k$ можно сделать малым независимо от $m$ — это именно критерий Коши для последовательности частичных сумм.
Когда метод может не подойти
- Монотонность+ограниченность неприменима к сильно осциллирующим последовательностям.
- Мажорирование бесполезно, если нет простого сравнительного ряда.
- Коши технически громоздок, если проще показать монотонность или найти явную верхнюю границу.
Вывод в одну строку: сначала попытайтесь показать монотонность и ограниченность (самое простое, если выполняется); если нет — используйте сравнение/сжатие; если и это затруднительно — применяйте критерий Коши (особенно для рекурсий и частичных сумм).