Кратко о недостатках «приближённого» доказательства:
- Если автор заменяет точное равенство $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ на приближение ∣pq−2∣<ε\left|\frac{p}{q}-\sqrt{2}\right|<\varepsilon qp −2 <ε, то из этого нельзя делать выводы о делимости целых чисел — приближение не даёт алгебраического тождества $p^2=2q^2$. Делимость и парность выводятся только из точных равенств между целыми.
- Схема «приближения» может путать понятия предела и тождества: существование последовательности рационалов, сходящейся к $\sqrt{2}$, не исключает рациональности $\sqrt{2}$ (рационалы плотны), значит сходимость сама по себе не доказывает иррациональность.
- Если автор использует усечение или округление дроби, то переход от «приближённо равно» к «равно» некорректен; следствия вроде «числа чётные» не выводимы из нестрогого приближения.
Корректная структура доказательства (два стандартных способа)
1) Классическое доказательство через парность (контрадикция)
- Предположим противное: $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, где $p,q\in {\mathbb{Z}}_{>0}$ и дробь несократима (НОД$(p,q)=1$).
- Возведём в квадрат: $2=\frac{p^2}{q^2}$, откуда $p^2=2q^2$.
- Из $p^2=2q^2$ следует, что $p^2$ чётно, значит $p$ чётно: $p=2k$.
- Подставим: $(2k{)}^2=2q^2\Rightarrow 4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2$. Значит $q^2$ и $q$ тоже чётны.
- Получаем, что и $p$, и $q$ делятся на 2, противоречие с несократимостью. Следовательно, $\sqrt{2}$ иррационально.
2) Доказательство методом бесконечного спуска (альтернатива той же идеи)
- Предположим $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ в несократимом виде. Из $p^2=2q^2$ выводим, что $p$ чётно, значит положим $p=2k$. Тогда $q^2=2k^2$, значит $q$ тоже чётен.
- Делим на 2: получаем новую дробь $\frac{p^{\prime }}{q^{\prime }}=\frac{p/2}{q/2}$, тоже дающую $\sqrt{2}$, но с меньшими положительными целыми числителями и знаменателями. Это даёт бесконечно убывающую последовательность натуральных пар — противоречие. Значит исходное предположение ложно.
Дополнение (вариант через факторизацию)
- Из $p^2=2q^2$ по теореме о единственности разложения в простые множители видно, что в левой части степень простого $2$ чётна, а в правой — нечётна (поскольку множитель $2$ один), противоречие.
Вывод: для корректного доказательства требуется точное равенство $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ и работа с целыми числами; приближения и округления здесь неприменимы.