Рассмотрим $f(x)=x^x$ при $x>0$. Удобно записать $f(x)=e^{x\ln x}$ и применить логарифмирование.
Дифференцирование (логарифмическое):
$$\ln f(x)=x\ln x,\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\ln x+1,$$ откуда
$$f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1).$$
Монотонность и экстремумы:
- Критические точки задаются $\ln x+1=0\Rightarrow x=e^{-1}=\frac{1}{e}$.
- Для $0<x<\frac{1}{e}$ имеем $\ln x+1<0\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$ (убывает).
- Для $x>\frac{1}{e}$ имеем $\ln x+1>0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ (возрастает).
- Следовательно единственная стационарная точка $x=\frac{1}{e}$ — глобальный минимум, значение
$$f\left(\frac{1}{e}\right)={\left(\frac{1}{e}\right)}^{1/e}=e^{-1/e}.$$
Выпуклость:
$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}[x^x(\ln x+1)]=x^x(\ln x+1{)}^2+x^{x-1}.$$ Поскольку для $x>0$ обе слагаемые положительны, то $f^{\prime \prime }(x)>0$ на $(0,\infty )$. Значит $f$ строго выпукла, точек перегиба нет.
Асимптотика:
- При $x\to 0^{+}$:
$$x^x=e^{x\ln x}\to e^0=1,$$ и более точно $x^x=1+x\ln x+o(x\ln x)$. Производная стремится к $-\infty$ (поскольку $\ln x\to -\infty$, а $x^x\to 1$).
- При $x\to \infty$:
$$\ln f(x)=x\ln x\to \infty ,$$ и $f(x)=e^{x\ln x}$ растёт сверхэкспоненциально (быстрее любой $a^x$, т.к. $x\ln x\gg Cx$).
Какие методы удобны:
- Логарифмическое дифференцирование (запись $x^x=e^{x\ln x}$) — основной и удобный метод для вычисления производных и исследования поведения.
- Для второго производного удобно использовать правило произведения и уже полученное выражение для $f^{\prime }(x)$.
Кратко: $f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1)$, единственный минимум в $x=1/e$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ на $(0,\infty )$, $x^x\to 1$ при $x\to 0^{+}$, и $x^x$ стремится к $\infty$ сверхэкспоненциально при $x\to \infty$.