Наиболее надёжный способ — использовать формулы для двойного угла и сокращение, проверив условие на ненулевость делителя.
Шаги:
1) Применяем тождества $\sin (2x)=2\sin x\cos x$ и $1+\cos (2x)=2{\cos }^{2}x$.\
2) Получаем
$$\frac{\sin (2x)}{1+\cos (2x)}=\frac{2\sin x\cos x}{2{\cos }^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x,$$ при условии $\cos x\ne 0$.
Условие на область определения: исходное выражение определено только при $1+\cos (2x)\ne 0$. Решая $1+\cos (2x)=0\Rightarrow \cos (2x)=-1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, то есть именно там $\cos x=0$. Следовательно равенство
$$\frac{\sin (2x)}{1+\cos (2x)}=\tan x$$ верно для всех $x$ таких, что $\cos x\ne 0$ (или $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$), а в точках $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ левое выражение не определено.
Как выбор формул влияет на эквивалентность:
- Деление на выражения, которые могут обращаться в ноль (например, на $\cos x$ или на $1+\cos (2x)$), требует явной проверки этих точек — иначе появятся некорректные утверждения.
- Применение квадратных корней (например, $\cos x=\pm \sqrt{(1+\cos 2x)/2}$) вводит знак «±» и может дать ложные варианты, если не контролировать знак.
- Подстановка через тангенс половинного угла ($t=\tan (x/2)$) даёт алгебраически корректный способ, но требует отслеживания соответствия между $x$ и $t$ (особенно при учёте точек, где $\tan (x/2)$ не определён).
Резюме: надёжно — использовать тождества двойного угла и сокращение с явной проверкой условий $\cos x\ne 0$; это даёт эквивалентную формулу $\tan x$ на допустимой области.