Да, для любого простого $p>2$ верно $p\mid (2^p-2)$.
Доказательство (коротко): так как $p$ простое и $\gcd (2,p)=1$, по малой теореме Ферма
$$2^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$$ Умножив обе части на $2$, получаем
$$2^p\equiv 2(\mathrm{mod}p),$$ то есть $p$ делит $2^p-2$.
Релевантные теоремы и замечания:
- Малая теорема Ферма (см. выше) — основное средство для данного утверждения.
- Теорема Эйлера (обобщение): если $\gcd (a,n)=1$, то $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$. Для простого $p$ получаем $\phi (p)=p-1$ и возвращаемся к Ферма.
- Обратное неверно: существуют составные $n$ такие, что $n\mid (2^n-2)$. Такие числа называются псевдопростыми по основанию $2$ (например, $341=11\cdot 31$ — базово‑2 псевдопростое). Более сильное свойство $a^n\equiv a(\mathrm{mod}n)$ для всех $a$ характеризует числа Кармайкла.