Коротко: ошибка — в алгебре или в обращении с пределами при подстановке. Правильный ответ: ${\int }_0^1\ln xdx=-1$, и интеграл отрицателен.
Пояснение (сжатое):
1) Прямой расчёт (интегрирование по частям):
$${\int }_0^1\ln xdx=[x\ln x{]}_0^1-{\int }_0^{1}1dx.$$ Предел при $x\to 0^{+}$: ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$. Следовательно
$${\int }_0^1\ln xdx=(1\cdot 0-0)-1=-1.$$
2) Проверка через подстановку $x\mapsto 1-x$: получаем
$${\int }_0^1\ln xdx={\int }_0^1\ln (1-x)dx,$$ и суммируя,
$$2I={\int }_0^1(\ln x+\ln (1-x))dx={\int }_0^1\ln (x(1-x))dx.$$ Возможный распространённый промах: принять ошибочно $\ln x+\ln (1-x)=\ln (x+1-x)=\ln 1=0$ — это неверно, потому что $\ln a+\ln b=\ln (ab)$, а не $\ln (a+b)$.
3) Оценка знака: для $x\in (0,1)$ выполнено $x(1-x)\le \frac{1}{4}$, значит $\ln (x(1-x))\le \ln \frac{1}{4}=-\ln 4$, поэтому $2I\le -\ln 4$ и $I\le -\ln 2<0$. Ещё проще: на $(0,1)$ $\ln x<0$, значит интеграл по положительному отрезку отрицателен.
Итого: ошибка — в неверных преобразованиях логарифмов или в ошибке со знаками/пределами; правильный результат ${\int }_0^1\ln xdx=-1$.