Кратко: бесконечный продукт ${\prod }_{n=1}^{\infty }(1+a_n)$ сходится (к ненулевому конечному значению) тогда и только тогда, когда сходится ряд логарифмов ${\sum }_{n=1}^{\infty }\ln (1+a_n)$. Поэтому основными критериями сходимости продукта являются свойства ряда $\sum \ln (1+a_n)$ и поведение членов $a_n$ при $n\to \infty$.
Детали и следствия (с формулами):
- Необходимое условие для ненулевой предельной величины: $a_n\to 0$. Более точно,
$$\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_n)\text{сходится к конечному}\ne 0⟺\sum _{n=1}^{\infty }\ln (1+a_n)\text{сходится (в конечное число).}$$
- Для малых $a_n$ используется разложение
$$\ln (1+a_n)=a_n+O(a_n^2).$$ Отсюда:
- Если ${\sum }_n|a_n|<\infty$, то $\sum \ln (1+a_n)$ сходится и потому $\prod (1+a_n)$ сходится к ненулевому значению. (Достаточное условие.)
- Если ${\sum }_n{a}_n$ сходится абсолютно или ${\sum }_n{a}_n$ и ${\sum }_n{a}_n^2$ сходятся, то $\sum \ln (1+a_n)$ сходится (так как погрешность $\sum O(a_n^2)$ сходится), значит продукт сходится к ненулю.
- Случай неотрицательных членов: если $a_n\ge 0$ для всех $n$, то
$$\prod _n(1+a_n)\text{сходится (к конечному значению)}⟺\sum _n{a}_n\text{сходится}.$$ Доказательство: для $a_n\ge 0$ имеем $\ln (1+a_n)\le a_n$ и при малых $a_n$ — асимптотика $\ln (1+a_n)\sim a_n$.
- Возможны «обманчивые» случаи при условной сходимости ряда $\sum a_n$. Пример: если $a_n\to 0$ и $\sum a_n$ сходится условно, но $\sum a_n^2$ расходится, то вклад $O(-a_n^2)$ в $\sum \ln (1+a_n)$ может привести к расходимости (обычно в $-\infty$), и тогда продукт равен нулю.
Примеры границы применимости:
1. $a_n=\frac{1}{n}$. Тогда $\sum a_n$ расходится, $\sum \ln (1+1/n)\sim \sum 1/n$ расходится $\Rightarrow \prod (1+1/n)=\infty$ (расходится).
2. $a_n=\frac{1}{n^2}$. Тогда $\sum a_n$ сходится, следовательно $\prod (1+1/n^2)$ сходится к ненулевому числу.
3. $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$. Здесь $\sum a_n$ сходится условно, но $\sum a_n^2=\sum 1/n^2$ сходится, поэтому $\sum \ln (1+a_n)$ сходится и продукт сходится к ненулю.
4. $a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$. Здесь $\sum a_n$ сходится (альтернирующий ряд), но $\sum a_n^2=\sum 1/n$ расходится. По разложению $\ln (1+a_n)=a_n-\frac{1}{2}{a}_n^2+o(a_n^2)$ сумма квадратичных членов даёт расходящийся вклад $-\infty$, поэтому $\sum \ln (1+a_n)=-\infty$ и $\prod (1+a_n)=0$.
5. Если для некоторого $n$ выполнено $1+a_n=0$, то продукт равен нулю (трivиальный случай).
Краткая сводка:
- Основной критерий: сходимость $\sum \ln (1+a_n)$.
- Достаточно: $\sum |a_n|<\infty$.
- Для $a_n\ge 0$ критерий эквивалентен сходимости $\sum a_n$.
- Условная сходимость $\sum a_n$ не гарантирует ненулевой предел продукта — нужно контролировать квадратичные члены ($\sum a_n^2$).