Пусть прямые — ${\ell }_1$ и ${\ell }_2$, их пересечение — точка \(\(O\)\). На ${\ell }_1$ задан отрезок \(\(AB\)\). Требуется на ${\ell }_2$ получить отрезок \(\(A'B'\)\) «под тем же направлением». Под этим обычно понимают соответствие положений относительно точки пересечения: каждому концу отрезка на ${\ell }_1$ ставится в соответствие точка на ${\ell }_2$ на том же луче от \(\(O\)\).
Конструкция (циркуль и линейка):
1. Найдите точку пересечения \(\(O=\ell_1\cap\ell_2\)\).
2. Разверните циркуль на радиус \(\(OA\)\). Проведите дугу с центром в \(\(O\)\); она пересечёт ${\ell }_2$ в двух точках. Выберите из них ту, которая лежит на той же стороне от \(\(O\)\), что и \(\(A\)\) (то есть на том же луче). Обозначьте её \(\(A'\)\). Тогда \(\(OA'=OA\)\).
3. Аналогично: разверните циркуль на радиус \(\(OB\)\), пересеките ${\ell }_2$ и на той же стороне от \(\(O\)\), что и \(\(B\)\), выберите точку \(\(B'\)\). Тогда \(\(OB'=OB\)\).
4. Отрезок \(\(A'B'\)\) на ${\ell }_2$ — искомый перенос: концы находятся на тех же лучах от \(\(O\)\) и на тех же расстояниях от \(\(O\)\), что и \(\(A\)\) и \(\(B\)\).
Краткое обоснование: построенные точки удовлетворяют \(\(OA'=OA\)\) и \(\(OB'=OB\)\) и расположены на тех же лучах от \(\(O\)\); таким образом сохраняются направления концов отрезка относительно точки пересечения.
Возможные вырождения и замечания:
- Если один из концов совпадает с \(\(O\)\) (например, $A=O$), то соответствующая точка будет \(\(A'=O\)\).
- Если $A$ и $B$ находятся по разные стороны от \(\(O\)\) (отрезок пересекает \(\(O\)\)), то $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ тоже окажутся по разные стороны на ${\ell }_2$.
- Если длина отрезка равна нулю ($A=B$), то получится точка $A^{\prime }=B^{\prime }$.
- Если под «тем же направлением» подразумевалось сохранить направление векторно (то есть сделать \(\(A'B'\)\) параллельным \(\(AB\)\)), то при пересекающихся прямых это невозможно, кроме тривиального случая нулевой длины: две различные пересекающиеся прямые не дают параллельных ненулевых отрезков друг другу.
- Прямая ${\ell }_2$ всегда пересечёт окружность центра \(\(O\)\) радиуса $OA$ и радиуса $OB$ (даёт по две точки), поэтому конструкция выполнима однозначно после выбора соответствующих сторон.