Коротко: стратегически можно выбирать только порядок хода (кто первый). Если «выигрыш» — тот, кто выбросил первый орёл, то размер очков за орёл не влияет на вероятность выигрыша; она зависит только от вероятности орла $p$ и того, что первый игрок бросает на нечётных шагах.
1) Вероятность, что первый игрок получает первый орёл (общее $p$-случай):
$$P(\text{победа 1-го})=\sum _{k=0}^{\infty }(1-p{)}^{2k}p=\frac{1}{2-p}.$$ При честной монете $p=\frac{1}{2}$ получается $P=2/3$.
2) Если цель — максимизировать ожидаемые очки, и за орёл на шаге $n$ платят детерминированно $a_n$, то ожидаемая выплата для игрока 1 равна
$$E_1=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_{2k+1}(1-p{)}^{2k}p,$$ для игрока 2:
$$E_2=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_{2k+2}(1-p{)}^{2k+1}p.$$ Тогда выбор быть первым оправдан, если $E_1>E_2$ (иначе — быть вторым). Эквивалентное сравнение после деления на $p$:
$$\sum _{k\ge 0}{a}_{2k+1}(1-p{)}^{2k}>(1-p)\sum _{k\ge 0}{a}_{2k+2}(1-p{)}^{2k}.$$
3) Релевантные модели и методы:
- последовательность Бернулли (независимые броски) и геометрическое распределение (время до первого успеха);
- моделирование попарных ходов (альтернирующие испытания), расчёт сумм рядов;
- если задачи по выплатам/стратегии — нулесуммовая игра / сравнение ожидаемых выплат;
- при усложнениях (случайные $a_n$, возможность пропуска хода, выбора вероятности монеты и т.п.) — оптимальная остановка и Марковские процессы / MDP;
- непрерывные аналоги — пуассоновские процессы (если переходить к непрерывному времени).
Итого: единственная «стратегия» в базовой задаче — выбор хода первым или вторым; при одинаковых очках это всегда выгодно (формула выше). Если очки зависят от номера броска — решайте по сравнению $E_1$ и $E_2$.