Дискриминант знаменателя: $25-36=-11<0$, значит знаменатель не ноль и функция определена на $\mathbb{R}$. Пусть
$$f(x)=\frac{x^2+4x+9}{x^2+5x+9}=1-\frac{x}{x^2+5x+9}.$$ Введём $g(x)=\frac{x}{x^2+5x+9}$. Тогда
$$g^{\prime }(x)=\frac{9-x^2}{(x^2+5x+9{)}^2},$$ критические точки $x=\pm 3$. Получаем $g(3)=\frac{1}{11},g(-3)=-1$, следовательно $g(x)\in [-1,\frac{1}{11}]$. Отсюда
$$f(x)=1-g(x)\in [1-\frac{1}{11},1-(-1)]=[\frac{10}{11},2].$$ Значит уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $a\in [\frac{10}{11},2]$. Наименьшее целое значение параметра $a$ равно $1$.