Коротко: самого большого числа не существует — для любого числа $N$ можно взять $N+1$.
Примеры очень больших (конечных) чисел:
- Googol: $10^{100}$.
- Googolplex: $10^{10^{100}}$.
- Graham's number (пример из Ramsey-теории): задаётся рекурсивно, например $G_1=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$, $G_{n+1}=3{\uparrow }^{G_n}3$, и сам Грэм $G=G_{64}$.
- $TREE(3)$ — число из теории деревьев, намного больше Грэма.
- Значения функции Busy Beaver $BB(n)$ и определения вроде Rayo’s number дают ещё большие конечные числа (рост быстрее любой вычислимой функции).
Вывод: нет «самого огромного числа» в принципе; среди названных конечных чисел $TREE(3)$, большие значения $BB(n)$ и Rayo-числа считаются одними из крупнейших известных концептуально.