Кратко: при $x=1$ выражение $\frac{x^2-1}{x-1}$ само по себе не определено (получаем $0/0$), но предел при $x\to 1$ существует и равен 2. Ниже — несколько подходов и пояснение допустимости преобразований.
1) Факторизация и сокращение (алгебр.):
$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.$$ Сокращение множителя $(x-1)$ даёт выражение $x+1$, но сокращение корректно только при $x\ne 1$. Для вычисления предела можно рассматривать функции на проколотой окрестности точки 1 (то есть при $x\ne 1$), после чего
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2.$$ Замечание: нельзя просто подставить $x=1$ в исходную дробь, т.к. деление на ноль запрещено.
2) Правило Лопиталя:
Поскольку при $x\to 1$ имеем неопределённость $0/0$ и числитель и знаменатель дифференцируе\-мы в окрестности 1, можно применить правило Лопиталя:
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x}{1}=2.$$ Условие применения: обе функции дифференцируемы рядом с точкой и предел производностей существует (здесь очевидно).
3) Разложение по малому (тэйлор/разность):
$$x^2-1=(1+(x-1){)}^2-1=2(x-1)+(x-1{)}^2,$$ откуда
$$\frac{x^2-1}{x-1}=2+(x-1)\to 2\text{при}x\to 1.$$
4) Продление функции (устранение устранимой разрыва):
Определим функцию
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1},& x\ne 1,\\ 2,& x=1.\end{array}$$ Тогда $f$ непрерывна в $x=1$; это формальная фиксация устранимого разрыва.
Какие шаги допустимы и почему:
- Деление на $(x-1)$ допустимо только при $x\ne 1$. Для предела это оправдано, потому что предел зависит только от значений функции в окрестности точки, а не в самой точке; поэтому можно рассматривать эквивалентную функцию на проколотой окрестности.
- Подстановка $x=1$ в исходную дробь — недопустима (деление на ноль).
- Применение правила Лопиталя требует формы $0/0$ или $\infty /\infty$ и дифференцируемости окрестности точки.
- Любое преобразование, которое сохраняет значения функции в некоторой проколотой окрестности точки (например, сокращение множителя, преобразование в ряд), сохраняет предел.
Итог: предел $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2$. Исходное выражение при $x=1$ не определено, но имеет устранимый разрыв, который можно исправить присвоением значения 2.