Для функции f(x) = x^3 - 3x + 1 опишите разные стратегии поиска всех корней и сравните устойчивость численных методов с аналитическими приемами
Для функции f(x) = x^3 - 3x + 1 опишите разные стратегии поиска всех корней и сравните устойчивость численных методов с аналитическими приемами
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Аналитические приёмы
- Приведение к "депрессированной" форме. Для f(x)=x3−3x+1f(x)=x^3-3x+1f(x)=x3−3x+1 имеем уже форму x3+px+qx^3+px+qx3+px+q с p=−3, q=1p=-3,\; q=1p=−3,q=1.
- Дискриминант. Для депрессированного кубического x3+px+qx^3+px+qx3+px+q дискриминант
D=−4p3−27q2. D=-4p^3-27q^2.
D=−4p3−27q2. Здесь D=−4(−3)3−27⋅12=108−27=81>0D=-4(-3)^3-27\cdot1^2=108-27=81>0D=−4(−3)3−27⋅12=108−27=81>0, значит три разных вещественных корня.
- Тригонометрическое (casus irreducibilis) решение (наиболее численно устойчиво при трёх вещественных корнях):
xk=2−p3cos (13arccos (3q2p−3p)−2πk3),k=0,1,2. x_k=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\!\Big(\frac{1}{3}\arccos\!\big(\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}\big)-\frac{2\pi k}{3}\Big),\quad k=0,1,2.
xk =2−3p cos(31 arccos(2p3q −p3 )−32πk ),k=0,1,2. Подставляя p=−3, q=1p=-3,\;q=1p=−3,q=1 получаем −p/3=1\sqrt{-p/3}=1−p/3 =1 и аргумент arccos(−1/2)=2π/3\arccos(-1/2)=2\pi/3arccos(−1/2)=2π/3, поэтому
xk=2cos (2π9−2πk3), x_k=2\cos\!\Big(\frac{2\pi}{9}-\frac{2\pi k}{3}\Big),
xk =2cos(92π −32πk ), численно x≈1.53208889, 0.34729636, −1.87938525\;x\approx 1.53208889,\;0.34729636,\;-1.87938525x≈1.53208889,0.34729636,−1.87938525.
- Кардано (радикалы). Теоретически даёт точные выражения через кубические корни, но при трёх реальных корнях промежуточные выражения комплексны (casus irreducibilis) и в плавающей арифметике могут привести к потере точности из‑за вычитаний и нетривиальной выборки корней.
Численные методы
- Метод бисекции: надёжен (гарантированное сжатие интервала при знакопеременности), медленный (линейная сходимость). Хорош для изолирования корней.
- Метод Ньютона: квадратичная сходимость при хорошем начальном приближении; чувствителен к начальному приближению, может расходиться или переходить к другому корню.
- Секантный метод: быстрее бисекции, но без гарантии; требует двух начальных приближений.
- Комбинированные схемы (бисекция + Ньютон — "safe Newton") дают компромисс: надёжность и быструю сходимость.
- Методы для всех корней одновременно: Durand–Kerner, Jenkins–Traub, методы на основе компаньонной матрицы (QR). Они стабильны и эффективны для многочленов высокой степени; для кубика излишни, но надёжны.
- Специальные библиотеки/алгоритмы (наличие контроля над устойчивостью, подбором ветвей корней и т.д.) предпочтительны в прикладных задачах.
Сравнение устойчивости (ключевые замечания)
- Аналитические формулы дают точные символические корни, но реализация Кардано в плавающей арифметике может быть неустойчивой в casus irreducibilis или при почти кратных корнях (катастрофическая потеря значащих цифр). Тригонометрическая форма избегает этой проблемы при трёх вещественных корнях и обычно более стабильна для данного примера.
- Численные методы с бракетированием (бисекция, безопасный Ньютон) очень устойчивы и просты в реализации; при изолированных и хорошо разделённых корнях (как в данном случае) быстро дают высокую точность.
- Методы, работающие с коэффициентами (компаньонная матрица, Jenkins–Traub), устойчивы для общего случая и удобны при необходимости всех корней одновременно и при шуме в коэффициентах.
Рекомендация для данного многочлена
- Использовать тригонометрическое аналитическое выражение (простое и численно устойчивое здесь), либо: найти интервалы с изменением знака и применить safe‑Newton или бисекцию для надёжного численного уточнения. Кардано применять осторожно (лучше через комплексную арифметику или готовую библиотеку).