Коротко и по делу.
Обозначения: вершины $A,B,C$; стороны $a=BC,b=CA,c=AB$. Пусть известны две стороны и угол между ними (SAS), например известны $b,c$ и включённый угол $A$.
1) Построение (евклидово):
- Начертите отрезок длины $c$ (это $AB$).
- В точке $A$ постройте угол величины $A$.
- На луче, исходящем из $A$, отложите отрезок длины $b$; конец этого отрезка — точка $C$.
- Соедините $C$ с $B$. Треугольник построен однозначно (до совпадения).
2) Формулы для восстановления и вычислений:
- Закон косинусов для стороны $a$:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$ - Затем остальные углы (например $B$) можно найти через закон косинусов
$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},$$ или через закон синусов
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a},$$ с учётом знака/положений.
- Площадь:
$$S=\frac{1}{2}bc\sin A.$$
3) Единственность/неоднозначности:
- Случай SAS (угол между заданными сторонами) даёт однозначный треугольник (конгруэнтность по SAS) — неоднозначностей нет.
- Неоднозначности возникают в случае, когда известны две стороны и НЕ включённый угол (SSA). Пусть известны $a,b$ и угол $A$ (при вершине $A$). Вводим высоту на сторону $b$:
$$h=b\sin A.$$ Тогда возможны случаи:
- если $a<h$ — треугольник невозможен (0 решений);
- если $a=h$ — ровно один прямой треугольник (1 решение);
- если $a\ge b$ — ровно одно решение (1);
- если $h<a<b$ — два различных треугольника (2 решения). Это проявляется в том, что из равенства
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}$$ для $B$ возможны два значения в пределах $(0,180^{\circ })$: $B$ и $180^{\circ }-B$.
Итого: при заданном угле между известными сторонами (SAS) восстановление однозначно; неоднозначности появляются при варианте SSA и описаны приведёнными неравенствами и законом синусов.