Кратко по случаям (все формулы в KaTeX):
- В вещественных числах, если \sqrt{\;} — стандартная (неотрицательная) корневая функция:
$$\sqrt{a^2}=|a|\text{для всех вещественных}a.$$ Следовательно $\sqrt{a^2}=a$ только при $a\ge 0$; для $a<0$ получаем $\sqrt{a^2}=-a$.
- Если под \sqrt{\;} понимают многозначный квадратный корень (в комплексной теории): множество корней числа $a^2$ равно
$$\{\zeta :{\zeta }^2=a^2\}=\{a,-a\},$$ то есть корректно писать $\sqrt{a^2}\in \{a,-a\}$.
- Если используется главная (принципиальная) ветвь комплексного квадратного корня (с Arg$\in (-\pi ,\pi ]$), то для ненулевого $a=r{e}^{i\phi }$:
$$\sqrt{a^2}=r{e}^{i\mathrm{Arg}(a^2)/2},$$ и конкретно $\sqrt{a^2}=a$ тогда и только тогда, когда $\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$; в противном случае $\sqrt{a^2}=-a$.
Правильная формулировка утверждения: «Для вещественных $a$ верно $\sqrt{a^2}=|a|$.» Если нужна многозначная версия: «Множество квадратных корней числа $a^2$ равно $\{a,-a\}$.»