Утверждение неверно. Правильное необходимое следствие сходимости положительной ряда — лишь то, что $a_n\to 0$. Требование «быстрее любой экспоненты» можно формализовать как
$\forall r\in (0,1)a_n=o(r^n)$ при $n\to \infty$.
Это утверждение не вытекает из сходимости ряда.
Контрпример: пусть $a_n=\frac{1}{n^2}$. Тогда ряд $\sum a_n$ сходится (по признаку сравнения или по р‑ряду с $p=2$), но для любого фиксированного $r\in (0,1)$ $$\frac{a_n}{r^n}=\frac{1/n^2}{r^n}=\frac{(1/r{)}^n}{n^2}\to +\infty ,$$ поскольку экспоненциальный множитель $(1/r{)}^n$ растёт намного быстрее полинома $n^2$. Значит $a_n$ не является $o(r^n)$ ни для какого $r\in (0,1)$.
Замечание: обратное верно — если $a_n=O(r^n)$ с некоторым $r\in (0,1)$, то ряд $\sum a_n$ сходится (сравнение с геометрической), но сходимость ряда сама по себе не даёт экспоненциального убывания.