Ниже — несколько методов с оценками сходимости и практичностью.
1) Аналитическое вычисление (лучший вариант)
- Интегрирование по частям: $u=\ln (1+x),dv=dx$ даёт
$${\int }_0^1\ln (1+x)dx=[(1+x)\ln (1+x)-x{]}_0^1=2\ln 2-1.$$ - Числово: $2\ln 2-1\approx 0.3862943611$.
- Преимущество: точный ответ, мгновенно и без ошибок.
2) Ряд Тейлора (аналитическое разложение, простая численная сумма)
- Для $|x|<1$: $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}$. Интегрируя по x от 0 до 1,
$$I=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n(n+1)}.$$ - Ряд абсолютно сходится (члены $\sim 1/n^2$). Оценка остатка: при обрезке после $N$ членов
$$\left|R_N\right|\le \sum _{n>N}\frac{1}{n(n+1)}\le \sum _{n>N}\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{N}.$$ - Практика: прост в реализации, даёт быстро убывающие члены; для машинной точности требуется лишь умеренное $N$ (например $N\sim 10^3$ даст ошибку $\lesssim 10^{-3}$).
3) Численные квадратуры
- Композитный метод Симпсона: ошибка $\mathcal{O}(h^4)$ (при $N$ отрезках $h=1/N$ — ошибка $\mathcal{O}(N^{-4})$). Прост в реализации, хорош для средней точности.
- Метод Гаусса (Gauss–Legendre): для аналитических подынтегральных функций даёт экспоненциальную сходимость по числу узлов; обычно 10–20 узлов дают машинную точность. Рекомендуется для высокой точности.
- Clenshaw–Curtis (Чебышёвская): тоже демонстрирует экспоненциальную сходимость для аналитичных функций и удобен в спектральных пакетах.
- Практика: для $f(x)=\ln (1+x)$ (анали́тична на [0,1]) лучшие — Гаусс или Clenshaw–Curtis; Симпсон удобен для простоты.
4) Монте‑Карло
- Сходимость медленная: дисперсия даёт ошибку $\mathcal{O}(N^{-1/2})$. Неэффективен для одновымерных интегралов с хорошо веду́щейся функцией.
Краткие рекомендации
- Нужен точный ответ — используйте аналитическое выражение $2\ln 2-1$.
- Нужна численная высокая точность — используйте Гаусс‑квадратуру (несколько узлов).
- Нужна простая реализация и разумная точность — интегрированная Тейлора или композитный Симпсон.
- Избегайте Монте‑Карло для этой задачи (медленная сходимость).