Дан набор из 10 элементов, необходимо выбрать 4: сравните комбинаторные подходы при выборе без порядка и с порядком, и обсудите, как изменится ответ при введении ограничений на комбинации
Дан набор из 10 элементов, необходимо выбрать 4: сравните комбинаторные подходы при выборе без порядка и с порядком, и обсудите, как изменится ответ при введении ограничений на комбинации
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
- Без порядка (сочетания): (104)=10!4!6!=210\displaystyle \binom{10}{4}=\frac{10!}{4!6!}=210(410 )=4!6!10! =210.
- С порядком (без повторений): P(10,4)=10!(10−4)!=10⋅9⋅8⋅7=5040\displaystyle P(10,4)=\frac{10!}{(10-4)!}=10\cdot9\cdot8\cdot7=5040P(10,4)=(10−4)!10! =10⋅9⋅8⋅7=5040.
- Связь: P(10,4)=(104)⋅4!\displaystyle P(10,4)=\binom{10}{4}\cdot4!P(10,4)=(410 )⋅4! (каждое сочетание даёт 4!4!4! упорядочиваний).
Как меняется при введении ограничений (типичные случаи и формулы):
- Повторения разрешены:
- Без порядка (с повторениями): сочетания с повторениями (10+4−14)=(134)=715\displaystyle \binom{10+4-1}{4}=\binom{13}{4}=715(410+4−1 )=(413 )=715.
- С порядком (с повторениями): 104=10000\displaystyle 10^4=10000104=10000.
- Обязательное включение конкретного элемента (например, элемент A должен быть выбран):
- Без порядка: зафиксировали A, выбираем ещё 3 из оставшихся 9: (93)=84\displaystyle \binom{9}{3}=84(39 )=84.
- С порядком (без повторений): выбираем 3 из 9 и затем упорядочиваем все 4: (93)⋅4!=2016\displaystyle \binom{9}{3}\cdot4!=2016(39 )⋅4!=2016.
- Запрет на некоторую пару (две конкретные не могут одновременно входить):
- Количество запретных сочетаний = количество сочетаний, где обе входят = (82)=28\displaystyle \binom{8}{2}=28(28 )=28.
- Разрешённых без порядка: (104)−(82)=210−28=182\displaystyle \binom{10}{4}-\binom{8}{2}=210-28=182(410 )−(28 )=210−28=182.
- При упорядочивании результат умножается на 4!4!4! (если порядок важен и нет повторений).
- Нельзя выбирать соседние элементы (если элементы упорядочены на линии):
- Без порядка: число способов выбрать 4 непоследовательных из 10 = (10−4+14)=(74)=35\displaystyle \binom{10-4+1}{4}=\binom{7}{4}=35(410−4+1 )=(47 )=35.
- С порядком (без повторений): умножить на 4!4!4!: 35⋅4!=840\displaystyle 35\cdot4!=84035⋅4!=840.
Методы работы с ограничениями: прямной подсчёт, дополнение (вычитание нежелательных), принцип включения‑исключения для нескольких запретов, звёздочки‑и‑перегородки (stars and bars) для распределений/повторений, генераторы для сложных зависимостей.
Если нужно — могу разобрать конкретное ограничение и дать точный счёт.