Коротко и формально.
Обозначения. Пусть задан отрезок с концами $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$. На нём лежат три точки $P_1,P_2,P_3$. Проекции этих точек на заданную ось (возьмём ось абсцисс) равны $x_i$ и заданы только в отношении, т.е. известны числа $r_1,r_2,r_3$ и справедливо
$$x_i=\lambda r_i$$ для некоторого общего масштаба $\lambda$. Известны попарные расстояния $d_{12},d_{13},d_{23}$ между $P_i$.
1) Параметризация точек на отрезке:
$$P_i=A+t_i(B-A),0\le t_i\le 1.$$ Тогда
$$x_i=x_A+t_i(x_B-x_A)\Rightarrow t_i=\frac{\lambda r_i-x_A}{x_B-x_A}.$$
2) Связь с расстояниями. Длина отрезка $L=|AB|=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Поскольку точки коллинеарны,
$$|t_i-t_j|L=d_{ij}.$$ Подставляя $t_i$,
∣λ(ri−rj)xB−xA∣ L=dij. \left|\frac{\lambda(r_i-r_j)}{x_B-x_A}\right|\,L=d_{ij}.
xB −xA λ(ri −rj ) L=dij . Отсюда для любой пары $(i,j)$ $$|\lambda |=\frac{d_{ij}|x_B-x_A|}{L|r_i-r_j|}.$$
3) Условие совместности и восстановление. Необходимо и достаточно, чтобы значения справа для всех трёх пар совпадали; т.е. выполнялось
$$\frac{d_{12}}{|r_1-r_2|}=\frac{d_{13}}{|r_1-r_3|}=\frac{d_{23}}{|r_2-r_3|}.$$ Если это так, то по любой паре вычисляем $|\lambda |$, затем два варианта $\lambda =\pm |\lambda |$. Далее получаем $t_i$ по
$$t_i=\frac{\lambda r_i-x_A}{x_B-x_A},$$ и точки $P_i=A+t_i(B-A)$. Нужно дополнительно проверить $0\le t_i\le 1$ (чтобы точки лежали именно на данном отрезке).
4) Возможные неоднозначности:
- Двухзначность знака $\lambda$ ( $\lambda$ и $-\lambda$ ) даёт максимум две допустимые конфигурации — зеркально-симметричные (реверсирование расположения вдоль оси проекций). Это эквивалентно отражению расположения точек на отрезке (реверс порядка).
- Если даются только отношения расстояний (а не их абсолютные значения), то остаётся масштабная неопределённость: можно умножать все $d_{ij}$ на один множитель и менять длину отрезка $L$ — одно- параметр семейство решений (помимо отражения).
- Особые вырожденные случаи:
- $x_B=x_A$ (отрезок вертикален): формула через проекции на абсцисс вырождается — нужно взять другую ось или повернуть систему.
- если для некоторой пары $r_i=r_j$, то требуется $d_{ij}=0$ (точки совпадают); иначе решений нет.
- если полученные $t_i$ не лежат в $[0,1]$, то при данных $r_i,d_{ij}$ точки не лежат на данном отрезке.
Итого: восстановление сводится к проверке совместности пропорций $d_{ij}/|r_i-r_j|$ и вычислению $\lambda$ (с двумя знаками), затем вычислению параметров $t_i$ и координат $P_i$. Единственные общие неоднозначности — знак $\lambda$ (зеркальность) и, при отсутствии абсолютной шкалы расстояний, масштаб.