Кратко: нужно доказать ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$. Описываю два классических подхода, их сильные/слабые стороны и где уместны.
1) Геометрическое доказательство (непосредственно через неравенства на единичной окружности).
- Идея и шаги: для $0<x<\frac{\pi }{2}$ на единичной окружности рассматриваем треугольник, сектор и треугольник с касательной. Получаем
$$\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x,$$ следовательно
$$\sin x<x<\tan x.$$ Делим на $\sin x>0$ и преобразуем:
$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$ При $x\to 0$ имеем $\cos x\to 1$, откуда по теореме о двух милиционерах $\frac{\sin x}{x}\to 1$.
- Условие: важна мера углов в радианах, так как формула площади сектора $\frac{1}{2}{r}^2\theta$ справедлива именно для радиан.
- Сильные стороны: минимальные аналитические предпосылки (геометрия, монотонность/предел косинуса); интуитивно понятна; полностью элементарна.
- Слабые стороны: ограничена конкретной геометрической интерпретацией, требует введения или доказательства неравенств на окружности; даёт только предел, но не порядок погрешности (только очевидная оценка через $\cos x$).
- Где предпочтительна: курсы тригонометрии, начального математического анализа (Calculus I), когда хочется элементарного и наглядного доказательства.
2) Доказательство через ряд Тейлора / степенной ряд.
- Идея: разложение
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$$ Тогда
$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\dots ,$$ и очевидно при $x\to 0$ ряд стремится к $1$.
- Условие: требуется предварительно обоснованный вывод степенного ряда для $\sin x$ (либо через сумму ряда для $e^{ix}$, либо через решение ОДУ и теорему о разложении, либо через формулы для коэффициентов), а также сведения о сходимости/остатке, чтобы переставлять операции.
- Сильные стороны: даёт оценку остатка и скорость сходимости (например, $\frac{\sin x}{x}=1+O(x^2)$), удобен для приближений и дальнейших разложений; очень эффективен в анализе, численных методах, теории рядов.
- Слабые стороны: более тяжёлая теоретическая подоплёка — требуется теория рядов/дифференциальных уравнений/комплексного экспоненциального определения синуса; может быть «круговой», если ряд выводится с использованием производных в 0, которые сами зависят от предела.
- Где предпочтителен: курсы математического анализа уровня 2 (Calculus II), рядов и везде, где допустимо использовать степенные ряды или комплексный анализ; для точных аппроксимаций и оценок погрешности.
Короткое замечание о правиле Лопиталя: если производные $\sin x$ и $x$ определены и их использование не содержит круговой аргументации, то
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=1.$$ Однако часто вычисление производной ${\sin }^{\prime }0=\cos 0$ иначе базируется на том же пределе, так что применение Лопиталя может быть некорректным без предварительной независимой обоснованности производных.
Вывод: для элементарного курса — геометрическое (неравенства на окружности); для более продвинутых курсов и точных оценок — разложение в ряд (или иной аналитический метод с оценкой остатка).