Критерии выбора метода для неравенств с модулями (кратко):
- Число модулей: если один — достаточно прямых эквивалентностей $|u|<a⟺-a<u<a$ и т.п.; если несколько — рассматривать знаки выражений или использовать геометрию/треугольное неравенство.
- Вид вложенных выражений: линейные внутри модуля → удобно разбиение по точкам нуля (постепенно); квадратичные/сложные → возможно полезно возведение в квадрат (только при неотрицательных обеих частей) или замена переменных.
- Тип неравенства: строгие/нестрогие и сравнение с константой $\ge 0$ — влияет на допустимость операций (возведение в квадрат, деление).
- Симметрия/геометрический смысл: при сумме модулей часто удобна геометрическая интерпретация (расстояния на прямой) или анализ кусочно-линейной функции.
- Число разрывных точек: если много точек разрыва, разбиение даёт много случаев → искать альтернативы (оценки, треугольник, график).
Пример и разные подходы: решить неравенство
$$|x-1|+|x+2|\le 5.$$
1) Метод разбиения по знакам (стандартный)
Разбиваем по критическим точкам $x=-2$ и $x=1$.
- Если $x\le -2$: $|x-1|=1-x,|x+2|=-x-2$. Тогда
$$(1-x)+(-x-2)\le 5⟺-2x-1\le 5⟺x\ge -3.$$ С учётом $x\le -2$ получаем отрезок $[-3,-2]$.
- Если $-2\le x\le 1$: $|x-1|=1-x,|x+2|=x+2$. Тогда
$$(1-x)+(x+2)=3\le 5,$$ все $x\in [-2,1]$ подходят.
- Если $x\ge 1$: $|x-1|=x-1,|x+2|=x+2$. Тогда
$$(x-1)+(x+2)\le 5⟺2x+1\le 5⟺x\le 2.$$ С учётом $x\ge 1$ получаем отрезок $[1,2]$.
Объединяя: решение $\boxed{[-3,2]}$.
2) Геометрическая интерпретация (быстро и наглядно)
$|x-1|+|x+2|$ — сумма расстояний от точки $x$ до точек $1$ и $-2$. Минимум этой суммы равен расстоянию между этими точками: $|1-(-2)|=3$, и достигается для $x$ на отрезе $[-2,1]$. За пределами этого отрезка сумма растёт линейно с углом 1: при уходе вправо рост на скорость $2$, при уходе влево — тоже на $2$. Требуемое условие $\le 5$ значит «насколько можно уйти от отрезка $[-2,1]$ до тех пор, пока сумма не станет 5»: разница $5-3=2$ даёт расширение на длину $1$ в каждую сторону. Итого $[-2-1,1+1]=[-3,2]$.
3) Анализ кусочно-линейной (свойства функции)
Рассматриваем $f(x)=|x-1|+|x+2|$. Это выпуклая кусочно-линейная функция с переломами в $-2$ и $1$. На промежутках $(-\infty ,-2],[-2,1],[1,\infty )$ $f$ задаётся линейными выражениями (см. пункт 1). Минимум $f_{\min }=3$ на $[-2,1]$. Для $x\ge 1$ имеем $f(x)=3+2(x-1)\le 5\Rightarrow x\le 2$. Для $x\le -2$ имеем $f(x)=3+2(-2-x)\le 5\Rightarrow x\ge -3$. Опять получаем $[-3,2]$.
Итог (одинаково в каждом подходе): решение $[-3,2]$.