Ошибка: утверждение неправильно — непрерывность на $[a,b]$ не влечёт дифференцируемости на $(a,b)$.
Что нужно добавить (правильные достаточные условия):
- Достаточно требовать более сильную гладкость, например $f\in C^1((a,b))$ (то есть $f$ имеет на $(a,b)$ производную и она непрерывна). Тогда очевидно $f$ дифференцируема на $(a,b)$.
- Аналогично достаточно, если $f$ аналитична на $(a,b)$ или является полиномиальной функцией и т.п.
(Обратите внимание: формулировать «если непрерывна, то дифференцируема» нельзя без дополнительного предположения о производной.)
Правильная связка (обратная к исходной): если $f$ дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Контрпримеры (кратко, с вычислениями):
1) $f(x)=|x|$ на $[-1,1]$. В точке $0$ $$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{|h|-0}{h}=1,\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{|h|-0}{h}=-1,$$ предел не согласован → производной в $0$ нет.
2) $f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ на $[-1,1]$. В точке $0$ $$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{1/3}}{h}=h^{-2/3}\to +\infty (h\to 0),$$ нет конечной производной в $0$.
3) Вейерштрассова функция (классический пример): например
$$W(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n\cos (b^n\pi x),$$ при подходящем выборе параметров $0<a<1,b\in \mathbb{N}$ (например $b$ нечетно и $ab>1+\frac{3\pi }{2}$) даёт функцию, непрерывную всюду и недифференцируемую нигде.
Короткое резюме: достаточно сильное условие гладкости (например $C^1$ или аналитичность) гарантирует дифференцируемость; простая непрерывность — нет.