Кратко — главное отличие и какие понятия вводить для строгого доказательства.
Формула (Гирара): площадь сферического треугольника с углами $A,B,C$ на сфере радиуса $R$ $$\mathrm{Area}(T)=R^2(A+B+C-\pi ).$$
Чем отличается доказательство от плоского случая
- В евклидовой плоскости уголная сумма треугольника равна $\pi$; площадь выражается через стороны/высоту или через героновы формулы. На сфере уголная сумма строго больше $\pi$ (избыточность углов — «spherical excess»), и именно эта избыточность даёт площадь.
- Геометрия на сфере имеет отличные базовые объекты: «прямые» = геодезические = большие круги; нет параллельных в евклидовом смысле; кривизна поверхности влияет на соотношения углов и площадей.
Два стандартных подхода к строгому доказательству
1) Комбинаторный (лунный) метод — элементарный, геометрический:
- Ввести понятие луны (lune): область на сфере, ограниченная двумя плоскостями через центр (двумя большими кругами). Если между плоскостями диэдральный угол $\alpha$ (в радианах), то площадь луны равна
$$\mathrm{Area}(\text{lune})=2R^2\alpha .$$ Это доказывается сведением к объёму конической части или по проекции на единичную сферу.
- Для сферического треугольника взять три лун, образованных парами больших кругов, содержащих стороны треугольника; суммирование площадей этих лун и учёт кратности покрытия частей сферы даёт равенство, из которого вытекает формула Гирара.
- Для строгого вывода в этой схеме надо чётко ввести: большие круги и углы между ними (углы сферических углов), понятие площади на сфере (поверхностная мера), и аккуратно просчитать, как три луны покрывают разбиение сферы (комбинаторика кратностей).
2) Дифференциально-геометрический (Gauss–Bonnet) — более общая и «строгая»:
- Рассмотреть сферу как двумерное риманово многообразие с метрикой, ввести геодезии, внутренний угол между геодезиями, элемент площади $dS$, и гауссову кривизну $K$.
- Для геодезического многоугольника (в частности треугольника) формула Гаусса–Бонне:
$${\iint }_{D}KdS+\sum (\pi -{\theta }_i)=2\pi ,$$ где ${\theta }_i$ — внутренние углы. Для сферы $K=1/R^2$ постоянна, поэтому
$$\frac{1}{R^2}\mathrm{Area}(T)+3\pi -(A+B+C)=2\pi ,$$ откуда получается та же формула $\mathrm{Area}(T)=R^2(A+B+C-\pi )$.
- Этот подход хорошо масштабируется (любой замкнутый геодезический многоугольник, произвольная поверхность) и даёт полную строгую систему.
Что нужно ввести для строгого вывода (минимальный список)
- Множество точек: шаровая поверхность $S^2$ и её радиус $R$.
- Понятие большого круга и геодезии; понятие угла между двумя геодезиями (в точке пересечения), измерение углов в радианах.
- Определение площади (поверхностная мера) на сфере; формула площади целой сферы $4\pi R^2$.
- Доказательство площади луны: сведение к соответствующему коническому сектору или интегрированию элементарного элемента площади.
- (Для Гаусс–Бонне) риманова метрика на сфере, элемент площади $dS$, гауссова кривизна $K$, интегралы на поверхности, формулировка и доказательство локальной версии теоремы Гаусса–Бонне для геодезического многоугольника.
- Базовые факты сферической тригонометрии (при необходимости): соотношения между сторонами (мерой дуг больших кругов) и углами.
Короткое резюме: в отличие от плоскости, площадь сферического треугольника пропорциональна «угловой избыточности» $(A+B+C-\pi )$. Элементарное доказательство строится через вычисление площадей лун; более общое и строгое — через теорему Гаусса–Бонне, для которой необходимо ввести риманову метрику, кривизну и интегральную геометрию.