Кратко: система
$$\{\begin{array}{l}ax+by=c,\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime },\end{array}D:=a{b}^{\prime }-a^{\prime }b\approx 0$$ — это плохо обусловленная (почти сингулярная) линейная задача. Дробно-линейное (мёбиусово/проектное) преобразование переменных имеет вид, например,
$$x=\frac{\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta },y=\frac{{\alpha }^{\prime }v+{\beta }^{\prime }}{{\gamma }^{\prime }v+{\delta }^{\prime }},$$ и превращает систему в систему рациональных уравнений.
Аргументы "за"
- Возможность геометрического устранения вырожденности: дробно‑линейные (проектные) преобразования переводят прямые в прямые и могут «перенести» направление почти‑параллельных линий с бесконечности в конечную область, делая пересечение легче выделимым в выбранных координатах (полезно в вычислительной геометрии).
- Балансировка масштабов: подходящим выбором параметров можно уравнять величины коэффициентов (спрятать большую разницу порядков), что иногда снижает численную погрешность при последующем решении.
- Управление особенностями: если решение «уходит в бесконечность» (точка на бесконечно удалённой прямой), проектное отображение может перевести её в конечную точку, облегчив анализ и визуализацию.
- В некоторых задачах (симметрии, проектные методы) преобразования дают аналитические упрощения, позволяя получить устойчивые формулы для пересечения.
Аргументы "против"
- Преобразование делает систему нелинейной (рациональной). Прямые методы решения (Cramer, LU) утрачиваются; требуется решение нелинейной системы или обратное преобразование — сложнее и дороже.
- Новые разложители и знаменатели могут иметь свои особенности (деление на маленькие числа), что приводит к усилению шума и потере устойчивости; неверный выбор параметров может ухудшить обусловленность.
- Фундаментальная неустранимая причина: если система плохо обусловлена (малые изменения коэффициентов дают большие изменения решения), никакое биективное непрерывное преобразование не устранит саму невосстановимость — задачу нужно регуляризовать (Tikhonov), решать в смысле наименьших квадратов или использовать SVD.
- Появление ложных/спурриных решений: точки, где знаменатели равны нулю, надо исключать; это требует дополнительной обработки ветвлений.
- Практическая сложность: подбор параметров дробно-линейного отображения нерутинный и может требовать итеративной оптимизации; проще и надёжнее применять масштабирование, перестановку столбцов/строк, SVD или регуляризацию.
Рекомендация (коротко)
- Перед применением дробно‑линейного преобразования попробуйте простые меры: нормировку коэффициентов, частичное масштабирование переменных, контроль условного числа матрицы $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ a^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right)$, и методы устойчивого решения (SVD, Tikhonov, псевдообратная).
- Используйте дробно‑линейные/проектные отображения лишь когда есть явная геометрическая причина (направление в бесконечности, требование проектной инвариантности) и вы можете гарантировать корректный выбор параметров и обработку точек с нулевыми знаменателями.