Требуется доказать: касательная к окружности в точке касания $T$ перпендикулярна радиусу $OT$. Привожу несколько разных доказательств и их краткое сравнение.
1) Геометрическое (свойство кратчайшего расстояния)
- Пусть прямая $l$ касается окружности с центром $O$ в точке $T$. Для любой другой точки $X$ на $l$ выполнено $OX>OT=r$. Значит отрезок от $O$ до $l$, дающий наименьшее расстояние, достигается в точке $T$. А отрезок, дающий кратчайшее расстояние от точки до прямой, является перпендикуляром. Следовательно $OT\perp l$.
2) Синтетическое через средние перпендикуляры (через хорды)
- Рассмотрим хорду $AB$ окружности, проходящую через точку, стремящуюся к $T$. Радиус $O$ пересекает эту хорду в её середине под прямым углом (свойство радиуса, проходящего через середину хорды). При сжатии хорды, когда её концы сходятся в $T$, середина хорды стремится к $T$, а соответствующий перпендикуляр к хорде переходит в касательную. В пределе получаем $OT\perp$ касательной. (Это аргумент с предельным переходом в чисто геометрическом виде.)
3) Аналитическое (координаты)
- Перенесём центр окружности в начало координат: окружность $(x^2+y^2=r^2)$. Пусть точка касания $(x_0,y_0)$ удовлетворяет $x_0^2+y_0^2=r^2$. Уравнение касательной в этой точке имеет вид
$$x{x}_0+y{y}_0=r^2.$$ Её наклон равен $-\frac{x_0}{y_0}$ (если $y_0\ne 0$), а наклон радиуса $OT$ равен $\frac{y_0}{x_0}$. Их произведение равно
$$\left(-\frac{x_0}{y_0}\right)\left(\frac{y_0}{x_0}\right)=-1,$$ поэтому линии перпендикулярны. (Для произвольного центра сначала сдвигаем систему координат.)
4) Аналитико-дифференциальное (градиент / нормаль уровня)
- Окружность как уровень функции $F(x,y)=(x-h{)}^2+(y-k{)}^2-r^2$. Градиент
$$\nabla F=2(x-h,y-k)$$ в точке $T=(x_0,y_0)$ равен $2OT$ и является нормалью к уровню $F=0$. Значит радиус — нормаль, а касательная — перпендикуляр к радиусу.
5) Векторный/скалярный аргумент (коротко)
- Любой вектор направления касательной $v$ при малом смещении от $T$ вдоль касательной не меняет квадрат расстояния до центра в первом порядке: ddt∣t=0∥OT+tv∥2=2 OT⋅v=0\dfrac{d}{dt}\big|_{t=0}\|OT+t v\|^2=2\,OT\cdot v=0dtd t=0 ∥OT+tv∥2=2OT⋅v=0. Значит $OT\cdot v=0$.
Краткое сравнение геометрических и аналитических доказательств
- Интуиция и простота: синтетические доказательства (1,2) короче, нагляднее и требуют минимальных технических средств; подходят для начальной геометрии.
- Строгость и общность: аналитические подходы (3,4,5) формальны, легко обобщаются (многомерность, произвольные фунции уровня, дифференциальные методы) и удобны при вычислениях.
- Требования: геометрические — минимальные предпосылки; аналитические требуют знаний координатной геометрии/анализа.
- Применимость: аналитика дает прямые формулы уравнений касательной; синтетика лучше для теоретических рассуждений и олимпиадных задач.
Вывод: все подходы эквивалентно доказывают, что касательная в точке касания перпендикулярна радиусу, выбор метода зависит от контекста, уровня подготовки и требуемой общей применимости.