Кратко — что нужно исследовать, как это делать и какие модели/приёмы применять.
Основные выражения
- Дискриминант и корни:
$$\Delta =b^2-4ac,x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}.$$ - Для анализа часто удобна нормировка по $a$ (если $a\ne 0$): рассматривают монic‑форму $x^2+\tilde{b}x+\tilde{c}$ с $\tilde{b}=b/a,\tilde{c}=c/a$. Тогда
$$r_1+r_2=-\tilde{b},r_1{r}_2=\tilde{c}.$$
Методы преобразования распределений (анализ аналитически)
- Преобразование переменных (Jacobian). Для фиксированного $a$ (или для монic‑случая) отображение $(b,c)\mapsto (r_1,r_2)$ даёт
$$b=-(r_1+r_2),c=r_1{r}_2,|J|=|r_1-r_2|.$$ Тогда совместная плотность корней
$$f_{r_1,r_2}(r_1,r_2)=f_{b,c}(-(r_1+r_2),r_1{r}_2)|r_1-r_2|.$$ (Если считать корни неупорядоченными, делите на 2.)
- Для случайного $a$ можно использовать преобразование $(a,b,c)\mapsto (a,r_1,r_2)$ и тот же якобиан; корни зависят только от отношений $b/a,c/a$.
Разделение по случаю дискриминанта
- Вероятность вещественных корней:
$$P(\text{вещественные})=P(\Delta \ge 0)={\iiint }_{b^2\ge 4ac}{f}_{a,b,c}(a,b,c)dadbdc.$$ - Условные плотности корней задаются как плотности при $\Delta \ge 0$; при $\Delta <0$ полезно работать с вещественной и мнимой частями корня $u\pm iv$, где
$$u=-\frac{b}{2a},v=\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2|a|}.$$
Примеры моделей коэффициентов
- Независимые нормальные: $a,b,c\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$. Тогда $b^2$ — нецентральная ${\chi }^2$-типа, $4ac$ — произведение нормальных, дискриминант — разность двух зависимых величин; аналитика даётся через свёртки/интегралы (часто выражается через интегралы специальными функциями). Практически — численное интегрирование или симуляции.
- Независимые равномерные: проще численно получить $f_{\Delta }$ через свёртку плотностей и аналитические выражения для ограниченных областей.
- Тяжёлые хвосты (Стьюдент, Леви) — повышается вероятность больших(мнимых) частей корней; требуется устойчивый бутстрэп/симуляция.
- Коррелированные коэффициенты: моделируют через совместную нормальную или смешанную модель; результат сильно меняется (смещение центра корней, изменение вероятности вещественности).
Приёмы приближённого анализа
- Монте‑Карло: универсальный, позволяет оценить $f_x$, $P(\Delta \ge 0)$, моменты, гистограммы сложных событий.
- Функция плотности дискриминанта: аналитически через интеграл
$$f_{\Delta }(t)=\iiint \delta (b^2-4ac-t)f_{a,b,c}(a,b,c)dadbdc,$$ где $\delta$ — дельта; полезно для теоретических выводов.
- Линеаризация (дельта‑метод) для малой шумовой составляющей около детерминированных коэффициентов: аппроксимация распределения корня как нормального (приближённые моменты).
- Преобразования суммы/произведения: использовать, что $r_1+r_2$ и $r_1{r}_2$ — более естественные параметры; работать с их распределением.
- Importance sampling / редкие события: если $P(\Delta \ge 0)$ очень мало, применять специализированные методы для оценки малых вероятностей.
Особые выводы и наблюдения
- Симметрия: при симметричных распределениях $b$ вокруг нуля ожидаемость сумм/смещений корней симметрична.
- Разделение на реальные/комплексные корни даёт смесь распределений: маргинальная плотность корня — смесь плотностей из реальной части и комплексной (реальная часть при комплексных парных даёт вклад в реальную ось).
- Распределение максимального/минимального корня исследуется через переход к упорядоченным корням; аналитически удобно через преобразование выше.
Практическая схема анализа (рекомендуется)
1. Выбрать модель для $(a,b,c)$: независимые/коррелированные, распределения (Gaussian, uniform, heavy‑tailed).
2. Решить, фиксирован ли $a$ (нормировка) или нет.
3. Вычислить/оценить $P(\Delta \ge 0)$ (анализ реальности корней).
4. Использовать преобразование $(b,c)\mapsto (r_1,r_2)$ или $(a,b,c)\mapsto (a,r_1,r_2)$ и якобиан для получения совместной плотности корней при возможности аналитики.
5. Если аналитика громоздка — симулировать (Monte‑Carlo) с оценкой плотностей, моментов, доверительных интервалов; при редких событиях применять importance sampling.
6. По необходимости — получить приближённые моменты корней через дельта‑метод или через численные интегралы для $f_{\Delta }$.
Краткий пример (монic‑случай, $a=1$, независимые $b,c$ с плотностями $f_b,f_c$):
- Совместная плотность корней:
$$f_{r_1,r_2}(r_1,r_2)=f_b(-(r_1+r_2))f_c(r_1{r}_2)|r_1-r_2|.$$ - Вероятность вещественности = интеграл по области $r_1,r_2\in \mathbb{R}$ (или эквивалент по $b,c$ с условием $\Delta \ge 0$).
Заключение
- Для практики: сочетание аналитических преобразований (Jacobian, распределения суммы/произведения) и численных симуляций даёт полный инструментарий.
- Выбор модели коэффициентов (нормальные/равномерные/тяжёлые хвосты, корреляции) критически влияет на распределение корней; отдельно анализировать $\Delta$ и преобразование к сумме/произведению корней — ключ к ясным результатам.
Если нужно, могу: привести подробный вывод для конкретной модели (например, $a=1,b,c\sim N(0,1)$), показать явную формулу для $f_{r_1,r_2}$ в этом случае и/или написать код для симуляции.