Критерии проверки корректности операций деления/сокращения в решениях систем нелинейных уравнений и инструкция по исправлению ошибок:
1) Явно указать множитель/делитель. Если в решении выполняют деление или сокращение на выражение $f(\mathbf{x})$, сначала зафиксировать множество его нулей:
- найти условие $f(\mathbf{x})=0$ и условие $f(\mathbf{x})\ne 0$.
2) Разбить задачу на ветви (случаи):
- случай A: $f(\mathbf{x})=0$ — решить систему при дополнительном ограничении $f(\mathbf{x})=0$;
- случай B: $f(\mathbf{x})\ne 0$ — при этом можно безопасно делить/сокращать и решать дальше.
3) Если делили/умножали на произведение факторов, нужно перечислить все ветви для каждого фактора (или эквивалентно использовать логическое разбиение по нулям каждого множителя).
4) Проверить все полученные кандидаты подстановкой в исходную (не модифицированную) систему — это отбрасывает потерянные/посторонние решения.
5) Учесть направление ошибки:
- деление на выражение, которое может быть нулём, может потерять решения (нельзя просто сокращать без разбиения);
- умножение на выражение, которое может быть нулём, может ввести посторонние решения (нужно проверять подстановкой).
Алгоритм исправления конкретного решения:
1. Проследить, в каком шаге было выполнено деление/сокращение; выписать делитель $f(\mathbf{x})$.
2. Решить систему в двух ветвях: $f(\mathbf{x})=0$ и $f(\mathbf{x})\ne 0$ (для второй ветви можно использовать сокращённые выражения).
3. Подставить найденные решения в исходную систему.
4. Объединить все допустимые решения, пояснив, какие были получены из какой ветви.
Короткий иллюстрирующий пример (потеря решения при некорректном делении):
Исходная система
$$\{\begin{array}{l}x(y+1)=0,\\ x+y=1.\end{array}$$
Некорректно: сразу делить первое уравнение на $x$ (теряя случай $x=0$) и получать только $y=-1,x=2$.
Правильно: выделяем два случая.
Случай 1: $x=0$. Тогда первое уравнение выполнено, второе даёт $y=1$. Кандидат: $(0,1)$. Проверка в исходной системе подтверждает.
Случай 2: $x\ne 0$. Тогда можно делить на $x$ и из первого получить $y+1=0\Rightarrow y=-1$. Подставляем во второе: $x+(-1)=1\Rightarrow x=2$. Кандидат: $(2,-1)$. Проверка подтверждает.
Итог: решения $(0,1)$ и $(2,-1)$. Первый был бы потерян при некорректном делении на $x$.
Кратко: всегда выделяйте и отдельно решайте ветви, где делитель равен нулю; затем проверяйте все кандидаты в исходной системе.